Grundprinzipien der Quantenphysik

J. Oswald, Grundprinzipien der Quantenphysik
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2.7.1.6 Lokalisierte Wellenpakete:
Um tatsächlich lokalisierte Wellenpakete darzustellen, muss man offensichtlich mehr als
zwei verschiedene stationäre Zustände überlagern. Dennoch hat uns die obige Rechnung
den Weg vorgezeichnet, wie es auch in einem etwas allgemeineren Fall funktionieren
kann. Wir können auch im allgemeineren Fall erwarten, dass es einen sich bewegenden
„Hüllkurventerm“ geben wird, der in der Folge die Bewegung eines auf den Bereich der
Hüllkurve lokalisierten klassischen Teilchens beschreibt. Um diesen Fall zu betrachten,
müssen wir uns zunächst mathematisch überlegen, auf welche Art eine Überlagerung zu
einem lokalisierten Wellenpaket überhaupt erfolgen kann:
Zu diesem Zweck müssen wir uns erst eine vernünftige mathematische Formulierung einer
lokalisierten Funktion zurechtlegen. Ohne jetzt langwierige mathematische Überlegungen
anstellen zu wollen, kann man sagen, dass die einfachste analytische Funktion, die so
etwas bewerkstelligt, eine Gaußfunktion ist:
x
Eqn. 2.7-32 ψ ( x) = C⋅exp
⎛ ⎜−
⎝ b
2
2
⎞
⎟
⎠
wobei die Konstante b eine Art Maß für die Breite des Wellenpaketes darstellt und C eine
weitere Konstante ist, die für Normierungszwecke gebraucht wird. Wir müssen also einen
Weg finden, durch geeignete Wahl unserer Überlagerungs- bzw. Darstellungskoeffizienten
a(k) obige Funktion zu erzeugen. Formal ausgedrückt bedeutet das, wir müssen eine
Funktion a(k) derart bestimmen, dass folgende Gleichung gilt:
x
Eqn. 2.7-33 ψ ( x) = ∑a( k) ⋅exp( −i⋅k⋅ x) = C⋅exp
⎛ ⎜−
⎝ b
k
Da wir sehr viele, relativ dicht liegende k-Werte haben (bei einer unendlichen Kette von
Töpfen sind es sogar unendlich viele, die dann gezwungenermaßen ein Kontinuum an
Werten liefern müssen), kann man die Summe zweckmäßigerweise als Integral über alle k
ausführen:
2
2
⎞
⎟
⎠
x
Eqn. 2.7-34 ψ ( x) = ∫ a( k) ⋅exp( −i ⋅k ⋅ x) dk = C ⋅exp
⎛ ⎜−
⎝ b
k
2
2
⎞
⎟
⎠
Ausschließlich zur Benützung in Verbindung mit der gleichnamigen Vorlesung !