Grundprinzipien der Quantenphysik

J. Oswald, Grundprinzipien der Quantenphysik
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2.5.3 Zeitliche Entwicklung von Zuständen in den gekoppelten Potentialtöpfen:
Wir haben das letzte mal festgestellt, dass die Kopplung zwischen den Töpfen dazu
führt, dass nicht mehr beliebige Zustände, die durch Überlagerung der Basiszustände ψ 1
und ψ 2
erzeugt werden, stationär sind, bzw. dass nicht einmal mehr ψ 1
und ψ 2
selbst stationäre Zustände sind. Nach unserem Formalismus kann jeder Zustand ψ durch
Überlagerung von ψ 1
und ψ 2
dargestellt werden. Für den Fall eines nichtstationären
Zustandes ψ () t muss das bedeuten dass folgendes gilt:
Eqn. 2-60 ψ() t = a () t ⋅ ψ + a () t ⋅ ψ
1 1 2 2
Mit anderen Worten ausgedrückt heißt das, dass sich die Anteile der Basiszustände ψ 1
und ψ 2
am allgemeinen Zustand ψ () t zeitlich verändern müssen. Wollen wir nun die
Antreffwahrscheinlichkeit w 1 für das Elektron z.B. in Topf 1 wissen, so müssen wir
folgendes berechnen:
*
Eqn. 2-61 ψ ψ() t = a (); t bzw. w = ψ() t ψ ψ ψ() t = a () t ⋅a () t
1 1 1 1 1 1 1
Das bedeutet, dass sich die Antreffwahrscheinlichkeit in den jeweiligen Töpfen für einen
nicht stationären Zustand zeitlich verändern muss.
In diesem Zusammenhang stellt sich somit die interessante Frage, was passiert im
weiteren Verlauf der Zeit, wenn man zu einem bestimmten Zeitpunkt (t=0) das Elektron
z.B. in Topf 1 vorfindet, d.h. dass zur Zeit t=0 das Elektron sich im Zustand ψ 1
befindet.
Wir wissen bereits, dass auch ψ 1
kein stationärer Zustand mehr ist und wir kennen
natürlich a 1 (t) bzw. a 2 (t) noch nicht. Das einzige, was wir relativ leicht hinschreiben
können, ist die Zeitabhängigkeit für stationäre Zustände, welche lediglich aus einem
zeitabhängigen Phasenfaktor besteht (siehe Eqn.2-56):
ψ
stat
() t = ψ ( t = ) ⋅e
stat
−i E ⋅t
h
0
Daher ist es zweckmäßig, diesmal von den stationären Zuständen auszugehen und aus
diesen alle anderen Zustände durch Superposition darzustellen. D.h. wir drehen den Spieß
um und nehmen nicht ψ 1
und ψ 2
sondern die stationären Zustände ψ I
und ψ II
als
Ausschließlich zur Benützung in Verbindung mit der gleichnamigen Vorlesung !