Grundprinzipien der Quantenphysik

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J. Oswald, Grundprinzipien der Quantenphysik 6 einen durchschaubaren Spezialfall gilt, eine dazu passende Wellengleichung und hofft, dass die Verallgemeinerung dieser Wellengleichung dann auch alle anderen allgemeinen Fälle ebenfalls richtig beschreibt. Das ist an sich keine ungewöhnliche Vorgangsweise in der Grundlagenforschung - nur muss sich die so gefundene (erratene) Gleichung dann auch in der Praxis bewähren und theoretisch zumindest im Nachhinein begründen lassen. Betrachten wir Eqn. 1.2-1, so haben wir einen ortsabhängigen Term, der mit k verknüpft ist und einen zeitabhängigen Term, der mit ω verknüpft ist. Für k haben wir schon eine Entsprechung im Teilchenbild, nämlich den Impuls, für ω haben wir noch nichts. Daher lassen wir vorerst den Teil mit der Zeitabhängigkeit außer Acht und betrachten nur den linken Term mit der x-Abhängigkeit. Um anzuzeigen, dass wir uns nun nicht mehr auf Lichtwellen beschränken wollen, ersetzen wir in der „Wellenfunktion“ das Symbol ξ(x,t) durch ψ(x,t). D.h. wir berechnen 2 d ψ dx ( x, t) i( ωt−kx) für den Fall ψ ( x, t) = A⋅e 2 und erhalten damit Eqn. 1.2-3 d 2 ψ( x, t) =−k 2 dx 2 ψ( x, t) Spalten wir in obiger Gleichung die Zeitabhängigkeit ab, ( ω − ) − ψ( x, t) = A⋅ e = A⋅e ⋅e i t kx ikx iωt so können wir diese aus Eqn. 1.2-3 herauskürzen. Benutzen wir weiters Eqn. 1.1-4 k ( E = h 2 2 ), so können wir Eqn. 1.2-3 zu folgendem Ausdruck ergänzen: 2m h 2 d 2 ψ( x) Eqn. 1.2-4 − ⋅ = E⋅ψ( x) 2 2m dx D.h. wir haben hier eine Wellengleichung für freie Teilchen, deren Lösungen dem Ausgangspunkt gemäß ebene Wellen sind, wobei E die kinetische Energie darstellt. Diese Differentialgleichung ist mathematisch gesehen eine Eigenwertgleichung für die kinetische Energie. Soweit haben wir aber noch nichts gewonnen, da wir diese Lösungen ja schon kennen, ja sogar gefordert haben. Was aber Eqn. 1.2-4 auszeichnet ist ihre Verallgemeinerungsfähigkeit (die sich selbstverständlich, wie schon erwähnt, in der Praxis erst bewähren muss !). Ausschließlich zur Benützung in Verbindung mit der gleichnamigen Vorlesung !
J. Oswald, Grundprinzipien der Quantenphysik 7 Zur Verallgemeinerung ziehen wir die Analogie zur klassischen Physik heran. Demgemäß setzt sich die Energie eines Teilchens im Allgemeinen aus kinetischer Energie E kin und potentieller Energie E pot zusammen. Wenn man nun annimmt, dass es auch für die Gesamtenergie E eine solche Wellengleichung geben soll, so muss sie wie folgt aussehen: E⋅ ψ( x) = ( E + E ) ψ( x) kin pot Im Allgemeinen ist E pot ortsabhängig (Potentialtöpfe etc.), sodass man üblicherweise das Potential V(x) zur Beschreibung verwendet (Detail am Rande: im Falle des elektrischen Potentials kann man die Ladung des Teilchens e als Konstante herausziehen). Für die kinetische Energie verwenden wir Eqn. 1.2-4, sodass wir schließlich folgenden Ausdruck erhalten: 2 2 ⎛ d ⎞ Eqn. 1.2-5 ⎜− h ⋅ + eV ( x) ψ( x) = E ⋅ψ ( x) 2 2m dx ⎟ ⎝ ⎠ Eqn. 1.2-5 stellt, wie man erkennen kann, die sog. zeitunabhängige Schrödingergleichung dar. Es wäre jetzt falsch zu behaupten, dass der oben beschriebene Weg als Ableitung der Schrödingergleichung bezeichnet werden könnte. Vielmehr ist es ein zielgerichtetes „Erraten“ derselben. Die Gültigkeit dieser Gleichung vorausgesetzt (jedenfalls hat sie sich bisher offensichtlich bewährt!), kann man erwarten, die Gleichgewichtszustände (stationäre Zustände) aller Teilchensysteme, und das sind letztlich Atome, Moleküle bis hin zu den Festkörpern, beschreiben zu können. Auf die Einbeziehung der Zeitabhängigkeit möchte ich in diesem einleitenden Kapitel verzichten - diese ist ohnehin Bestandteil des Hauptteiles der Vorlesung. Zur bildlichen Vorstellung kann man sich damit behelfen, dass ψ( x) die räumliche Verteilung der Welle zu einem bestimmten, eingefrorenen Zeitpunkt beschreibt. Laufende Wellenpakete werden dementsprechend keine stationären Zustände sein können. Stationäre Zustände sind am ehesten mit stehenden Wellen zu vergleichen, deren Amplitudenverteilung im Raum sich zeitlich nicht ändert, die aber auf eine noch herauszufindende Art und Weise oszillieren. 1.3 Interpretation der Wellenfunktion: Zur Interpretation von ψ( x ) können wir uns vorerst an die uns bekannten Fakten über Lichtwellen halten. Wenn wir uns erinnern, dass das Licht praktischer (realer) Ausschließlich zur Benützung in Verbindung mit der gleichnamigen Vorlesung !
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