Grundprinzipien der Quantenphysik

J. Oswald, Grundprinzipien der Quantenphysik
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1
[ 1
0
1 ]
N c ⋅exp( − i ⋅ k x n E i k x n c i k x n
m⋅∆ ⋅( − )) + ⋅exp( − ⋅
m⋅∆ ⋅ ) + ⋅exp( − ⋅
m⋅∆
⋅ ( + )) =
1
= Em⋅ ⋅exp( −i⋅km⋅∆x⋅n)
N
1
Wir können aus dem linken Ausdruck ⋅exp( −i⋅km
⋅∆ x⋅n)
herausheben und mit dem
N
entsprechenden Teil auf der rechten Seite kürzen, so dass folgendes bleibt:
Eqn. 2.7-14 [ exp( ∆ )
0
exp( ∆ )]
c⋅ −i⋅k ⋅ x + E + c⋅ + i⋅k ⋅ x = E
m m m
Wir können die Terme umgruppieren und neu zusammenfassen:
[ ∆
∆ ]
Em = E0 + c⋅ exp( −i⋅km⋅ x) + exp( + i⋅km⋅
x)
Die exp-Funktionen können wir, wie schon früher einmal getan, in die sin- und cos-
Anteile zerlegen und die entsprechenden Anteile neu zusammenfassen:
Eqn. 2.7-15
[ cos( ∆ ) cos( ∆ )]
( m
∆ ) sin( m
∆ )
cos( ∆ )
E = E + c⋅ k ⋅ x + −k ⋅ x +
m 0
m m
[ sin
]
i⋅ k ⋅ x + −k ⋅ x =
E + c⋅ k ⋅ x
0
2
m
Der Imaginärteil hebt sich weg und wir erhalten somit eine Funktion, die jedem k-Wert
einen Energiewert zuweist, wobei
max
E = E + 2c
min
E = E −2c
0
0
D.h. wir erhalten bei N gekoppelten Töpfen N Energiewerte, welche sich als eine Art
„Energieband“ im Intervall E + c und E − c anordnen. Erinnern Sie sich, dass wir für
0
2
0
2
den Fall von 2 Töpfen ein ähnliches Ergebnis hatten, nur war die Aufspaltung der 2
Niveaus ±c. Dass wir nun ±2c erhalten ist nicht weiter verwunderlich, da der betrachtete
Topf nun nach zwei Seiten koppelt und wegen der Ununterscheidbarkeit der beiden
Nachbartöpfe der doppelte Effekt durch die Kopplung auftritt. Offensichtlich schieben sich
alle weiteren Energieniveaus einfach in dieses Intervall. Bei geringer Kopplung können
wir daher ein schmales Energieband erwarten, bei starker Kopplung ein breites. Das führt
Ausschließlich zur Benützung in Verbindung mit der gleichnamigen Vorlesung !