Grundprinzipien der Quantenphysik

J. Oswald, Grundprinzipien der Quantenphysik
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⎡ ⎛ Ek (
1)
⎞⎤
ψ( xt , ) = ψ( x= 0, t= 0) ⋅exp⎢−i⋅⎜
k1
⋅ x+ ⋅t⎟
⎝
⎠⎥ +
⎣
h ⎦
⎡ ⎛ Ek (
2
) ⎞ ⎤
+ ψ ( x = 0, t = 0) ⋅exp⎢−i⋅⎜
k2
⋅ x+ ⋅t⎟
⎣ ⎝ h ⎠ ⎥
⎦
Weiters zerlegen wir die exp-Funktionen in ihre sin- und cos- Anteile nach folgendem
Schema:
⎛ α − β⎞
⎛ α + β⎞
cos( α) + cos( β) + i ⋅ [ sin( α) + sin( β) ] = 2cos⎜
⎟ cos⎜
⎟ +
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎡ ⎛ α − β⎞
⎛ α + β⎞
⎤
i ⋅ ⎢2cos⎜
⎟ sin⎜
⎟
⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥
⎦
=
⎛ α − β⎞
⎡ ⎛ α + β⎞
⎛ α + β⎞
⎤
2cos⎜
⎟⋅ cos⎜
⎟+ ⋅sin⎜
⎟
⎝ ⎠ ⎢
i
2 ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥
⎦
=
⎛ α − β⎞
⎛ α + β⎞
2cos⎜
⎟⋅exp⎜i
⋅ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Wobei in unserem Fall
⎛ Ek (
1)
⎞
α = ⎜−k1
⋅x− ⋅t⎟
⎝ h ⎠
⎛ Ek (
2
) ⎞
β = ⎜−k2
⋅x− ⋅t⎟
⎝ h ⎠
Somit lautet die komplette Wellenfunktion ψ ( xt , ):
Eqn. 2.7-29
⎛ k
ψ( xt , ) = 2ψ( x= 0, t= 0) ⋅cos⎜
−
⎝
− k Ek ( ) − Ek ( ) ⎞
⋅x
−
⋅ t⎟ ⋅
2 2⋅
h ⎠
1 2 1 2
⎡ ⎛ k
⋅exp⎢−i
⋅⎜
⎣ ⎝
+ k Ek ( ) + Ek ( ) ⎞ ⎤
⋅ x +
⋅ t⎟
2 2⋅
h ⎠ ⎥
⎦
1 2 1 2
Die Exponenentialfunktion stellt dabei eine ganz normale harmonische Welle dar, wobei
als Wellenzahl k und als Energie E im konkreten Fall jeweils die Mittelwerte der
überlagerten stationären Zustände genommen werden. Der cos-Faktor davor stellt nun eine
zeitlich und räumlich veränderliche Amplitude dar, welche von der mathematischen Form
her einen Schwebungsterm sowohl hinsichtlich der harmonischen Zeitabhängigkeit als
auch hinsichtlich der harmonischen Ortsabhängigkeit darstellt. Dieser cos-Term stellt die
Hüllkurve für die eigentliche Welle dar und das Argument dieses cos-Terms hat wieder die
mathematische Form einer Wellenausbreitung. D.h., dass sich die Hüllkurve im Raum
Ausschließlich zur Benützung in Verbindung mit der gleichnamigen Vorlesung !