Der atmosphärische Treibhauseffekt ist Realität - Ing-buero-ebel.de

1 Smith
wobei b wieder eine Integrationskonstante ist, mit der die Anfangsbedingung erfüllt wird
b = y(0) + λ, wobei y(π) = y(0) + 2λ, d.h. die Temperatur steigt um 2λ an mit einer Sinus-
Kurve während des Tages. Natürlich ist diese Abschätzung unzulässig, wenn λ groß ist oder
y(0) nahe 0 beginnt.
Bei einer weiteren Näherung wird davon ausgegangen, daß die Variationen y klein sind
und wir deshalb um einen ausgewählten Wert von y 0 linearisieren dürfen. Dies ergibt:
dy
dx ≈ λ sin(x) − λy4 0
π − 4 λy3 0
π (y − y 0) (1.27)
was eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung ergibt mit der Lösung:
y(x) = 3 ( )
4 y 0 + βe − 4λy3 0 x/π λ 4λy
3
+
0
1 + (4λy0/π) 3 2 π sin x − cos x (1.28)
β ist hier eine weitere Integrationskonstante, die durch die Anfangsbedingung bestimmt
wird. Die Linearisierung wird unzulässig, wenn y erheblich von y 0 abweicht, aber das Ergebnis
sollte allgemein gültig sein, wenn λ klein ist, und es kann verwendet werden, um schrittweise
Lösungen für die Temperaturen tagsüber für beliebige Werte von λ zu erhalten; numerische
Integration der zugrunde liegenden Gleichung ergeben natürlich das gleiche.
Numerisch berechnete Lösungen für verschiedenen Werte von λ sind in Abb. 1.1 (S. 11)
dargestellt; Abb. 1.2 (S. 13) zeigt die Trends für die Mittelwerte y(T/T eff ), die Mittelwerte
der vierten Potenz von y und die Minimum- und Maximum-Werte von y wenn λ wächst. Wie
erwartet, ist der Mittelwert der vierten Potenz 1, während der Mittelwert von y sinkt, wenn
λ wächst; und nähert sich schließlich dem nicht-rotierenden Wert von 2 √ 2/5 bei λ → ∞.
Zu beachten ist auch, daß sich die maximale Temperatur schnell dem nichtrotierenden Wert
von y = 4√ π für große λ nähert. Die minimale Temperatur sinkt langsam mit y ∼ 1/(3λ) 1/3 .
Die Näherungsformel bei großem λ für die durchschnittlichen Temperatur lautet:
und für kleine λ:
y mittel ∼ 2 √ 2/5 + 0.392 λ − 0,279 λ → ∞ (1.29)
y mittel ∼ 1 − 0.196 λ 2 λ → 0 (1.30)
Zu beachten ist, dass in Gl. (1.21) die Temperaturskala mit Breitengrad variiert mit
cos(ξ) 1/4 , während der Wert von λ variiert mit cos(ξ) 3/4 . So haben wir schließlich, nach
der Integration über den gesamten Planeten eine durchschnittliche Temperatur von:
( (1 − a)S
T mittel =
πσ
) 1/4
π
∫2
0
cos(ξ) 1/4 y Mittel (λ(ξ)) cos(ξ)dξ (1.31)
Für kleine λ könnten wir den Ausdruck aus Gl. (1.30) ersetzen; da wir auf jeden Fall wissen,
daß y Mittel < 1 für alle Breiten ist, so haben wir eine obere Schranke für die durchschnittliche
Temperatur T mittel des gesamten rotierenden Planeten beim Berechnen des numerischen
Wertes des cos(ξ) 5/4 -Integrals:
( ) 1/4 (1 − a)S
T mittel < 0, 69921
(1.32)
σ
und es ist anzumerken, dass dieses Grenze etwas mehr als 1 % kleiner als T mittel für den
gesamten Planeten nach Gl. 1.22 ist, welche die Konstanten (1/4) 1/4 = 0, 7071 . . . hat -
anstelle von 0,69921 im äquivalenten Ausdruck.
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