anderungen der h¨aufigkeit und intensit ¨at von ... - IMK-TRO - KIT

4.1.2 Parameterschätzung 25
X T ist der Wert der betrachteten Größe, der bei einer bestimmten Wiederkehrperiode T zu
erwarten ist.
Die Extremwertanalyse basiert auf der Annahme, dass die einzelnen Extremereignisse statistisch
unabhängig verteilt sind (siehe auch Kapitel 4, Abbildung 4.4). Um dies zu erfüllen,
sollte zwischen den einzelnen Ereignissen ein Mindestzeitraum liegen. Gebräuchlich ist für
Winterstürme in Europa bei stündlichen Werten eine Zeitspanne von 48 Stunden zwischen
zwei Ereignissen (Cook, 1985; Gusella, 1991).
F(X) hängt empfindlich vom Schwellenwert ζ ab, da er einen Einfluss auf die Parameter
α und k der Verteilungsfunktion hat. Aus praktischen Gründen muss der Wert hoch genug
sein, um nur Extremwerte zu erfassen, darf aber auch nicht zu hoch angesetzt werden, da
sonst die Stichprobe aus einer zu geringen Anzahl von Ereignissen besteht.
4.1.2 Parameterschätzung
Zur Bestimmung der freien Parameter k und α der Wahrscheinlichkeitsfunktion (4.2) oder
(4.3) stehen verschiedene Methoden zur Verfügung. Neben der Momentenmethode (MOM),
der L-Momentenmethode (LM) und der maximalen Wahrscheinlichkeitsmethode (ML) findet
auch die wahrscheinlichkeitsgewichtete Momentenmethode (PWMs) Verwendung. Alle
vier Methoden, die auch in der Arbeit verwendet und miteinander verglichen werden, werden
nachfolgend erklärt.
Momentenmethode (MOM)
Die Momentenmethode (Hosking und Wallis, 1987) berechnet die Verteilungsparameter
durch Gleichsetzen der Momente der Grundgesamtheit mit denen aus der Stichprobe unter
der Bedingung für den Erwartungswert:
E(1 − kX α )r = 1
1 + rk , (4.4)
wobei 1 + rk > 0 ist. Das heißt, das r-te Moment von X existiert, wenn k > −1/r ist. Vorausgesetzt,
dass sie existieren, sind der Mittelwert µ , die Varianz σ 2 , die Schiefe γ und der
Exzess κ jeweils
Damit gegeben sind die Parameter k und α über
µ = α/(1 + k) (4.5)
σ 2 = α 2 /(1 + k) 2 (1 + 2k) (4.6)
γ = 2(1 − k)(1 + 2k) 1/2 /(1 + 3k) (4.7)
κ = 3(1 + 2k)(3 − k + 2k2 )
− 3 (4.8)
(1 + 3k)(1 + 4k)
k = 1 2 ( X2
− 1) (4.9)
s2 α = 1 2
X2
X( + 1) (4.10)
s2