anderungen der h¨aufigkeit und intensit ¨at von ... - IMK-TRO - KIT

28 4 Methoden
λ 3 = 6β 2 − 6β 1 + β 0 (4.24)
λ 4 = 20β 3 − 30β 2 + 12β 1 − β 0 . (4.25)
Allgemein gilt für die einzelnen Momente r = 0, 1, . . .:
λ r+1 =
r
∑ pr,j ∗ β j (4.26)
j=0
wobei
p ∗ r,j = (−1)r−j ( r
j
)( ) r + j
j
= (−1)r−j (r + j)!
(j!) 2 (r − j)!
(4.27)
ist. Die L-Momentenverhältnisse τ r mit r = 3, 4, . . . sind durch τ r = λ r /λ 2 definiert. λ 1 ist
der Mittelwert der Verteilungsfunktion, das heißt das Moment gibt die Lage der Verteilung
an. λ 2 dagegen drückt die Form, τ 3 die Schiefe und τ 4 die Wölbung aus.
In der Praxis werden die einzelnen L-Momente durch Abschätzung der Stichprobe der
Größe n bestimmt, wobei die Werte in aufsteigender Reihenfolge vorzuliegen haben. Das
heißt die Ordnungsstatistik ist X 1 ≤ X 2 ≤ · · · ≤ X n . Somit gilt für die ersten vier L-
Momente (Hosking, 1990):
l 1 = n −1 ∑ X i (4.28)
i
l 2 = 1 ( n −1 n
2 2)
∑ ∑(X i − X j ) (4.29)
i>j
l 3 = 1 ( n −1 n
3 3)
∑ ∑ ∑(X i − 2X j + X k ) (4.30)
l 4 = 1 4
i>j>k
( n
4) −1 n
∑ ∑ ∑ ∑(X i − 3X j + 3X k − 3X l ). (4.31)
i>j>k>l
Allerdings ist es zur Bestimmung von l r nicht nötig, über alle Stichproben der Größe r iterativ
zu rechnen. Hosking (1990) definiert b r und l r als unabhängige Schätzer von β r und λ r
für r = 0, 1, . . . , n − 1 folgendermaßen:
b r = n −1
n ∑
j=1
(j − 1)(j − 2) · · · (j − r)
(n − 1)(n − 2) · · · (n − r) X j (4.32)
und
l r+1 =
r
∑ pr,j ∗ b j. (4.33)
j=0
Nach Hosking (1990) lauten die L-Momente λ r und L-Momentenverhältnisse τ r für die GPD