Aufgabenvariation im Mathematikunterricht - Fakultät für Mathematik ...
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3.2.8 Der Rasensprenger – ab Klassenstufe 11<br />
Initialaufgabe:<br />
Ein Rasensprenger soll so bewegt werden, dass er einen rechteckigen Rasenstreifen<br />
gleichmäßig bewässert. Wie sieht die Bewegung aus?<br />
Lösung:<br />
Abbildung1: Normaler Rasensprenger Abbildung 2: Opt<strong>im</strong>ierter Rasensprenger<br />
Wasser verlässt mit Anfangsgeschwindigkeit v0 in jedem Augenblick den Rasensprenger<br />
Wasser bewegt sich auf Wurfparabeln mit einer (horizontalen) Wurfweite von:<br />
( ) = ⋅v ⋅sin<br />
2α<br />
w α<br />
1 2<br />
0<br />
g<br />
Max<strong>im</strong>ale Entfernung des Wasserstrahls zum Rasensprenger liegt vor bei α= 45°<br />
Momentane Wandergeschwindigkeit erhält man folgendermaßen:<br />
v B =<br />
dw<br />
dt<br />
dw dα<br />
vB<br />
= ⋅<br />
dα<br />
dt<br />
vB = konstant, ist:<br />
bei opt<strong>im</strong>aler Bewässerung, d.h. bei<br />
Variablentrennung liefert:<br />
Integration schließlich ergibt:<br />
c<br />
Man erhält: t =<br />
0<br />
sin2α<br />
2<br />
Nun lässt sich α(t) berechnen:<br />
Ausweichformel (<strong>für</strong> lktl > 1):<br />
vB<br />
dα<br />
=<br />
dt c<br />
=<br />
0<br />
dt = c0<br />
cos 2αdα<br />
2 2 dα<br />
v cos 2α<br />
⋅<br />
g 0 dt<br />
1<br />
cos<br />
dt = c0<br />
cos 2αdα<br />
∫ ∫<br />
2α<br />
1<br />
α = arcsinkt<br />
2<br />
π 1<br />
α = + arcsin kt − 2<br />
2 2<br />
17<br />
( )<br />
(Kettenregel)<br />
(c0 ist eine Konstante)
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