Numerische Untersuchung einer Düsenströmung mit Schiebewinkel

Numerische Untersuchung einer Düsenströmung
mit Schiebewinkel
Studienarbeit
von
cand. aer. Hend Kamoun
durchgeführt am
Institut für Aerodynamik und Gasdynamik
der Universität Stuttgart
Stuttgart, im März. 2008

Aufgabenstellung
An diese Stelle wird die Aufgabenstellung der Arbeit eingebunden.
ii

Übersicht
Die dreidimensionale kompressible Strömung an einem Düsenende wird mittels Direkte Numerische
Simulation untersucht. Das Düsenende wird hierbei durch eine dünne ebene Platte modelliert, die
mit den Machzahlen Ma1 = 0,8 oben und Ma2 = 0,2 unten umströmt wird.
Das dreidimensionale Strömungsbild wird erzeugt, in dem das Geschwindigkeitsprofil einer zweidi-
mensionalen Grenzschicht um die y-Achse oberhalb der Platte gedreht wird. Stromab des Plattenen-
des entwickelt sich eine Kombination aus freier Scherschicht und Nachlauf mit kohärenten Wirbel-
strukturen.
Die Stabilitätsuntersuchung erfolgt mithilfe der linearen Stabilitätstheorie. Die Untersuchung der An-
fachungsraten der Strungen in der Grenzchicht hat gezeigt dass, die Geschwindigkeitskomponente in
Spannweiterichtung eine stabilisierende Wirkung auf das Strömungsfeld im Vergleich zu zweidimen-
sionaler Strömung hat. Die am stärksten angefachte Instabilitätswelle wird in der schiebenden oberen
Grenzschicht eingebracht. Ihre Amplitude wächst zuerst exponentiell entlang der Grenzschicht. Auf-
grund der großen Anfachungsrate im Nachlauf hinter der Platte, werden Störungen gesättigt bevor
sich die Scherschicht vollentwickelt. Infolge der zugenommenen Amplituden werden Moden, die ur-
sprünglich stabil sind, verstärkt, verursacht durch die nichtlineare Interaktion der verstärkten Störun-
gen. Die Kohärenten Wirbeln werden geneigt und brechen stromabwärts zu kleinen Wirbelstrukturen
unter der Einfluss der erzeugten Längswirbeln auf. Außerdem reduzieren die 3-dimensinalen Störwel-
len die Schallemission.
iii

Inhaltsverzeichnis
Aufgabenstellung ii
Übersicht iii
Inhaltsverzeichnis iv
Nomenklatur v
1 Einleitung 1
2 Grundgleichungen 5
2.1 Navier-Stokes Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Normierung der Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Navier-Stokes Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.3 Zustandsgleichung des idealen Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.4 Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Grenzschichtgleichungen für quasi-zweidimensionale Strömung . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Transformierte Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Lineare Stabilitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.1 Grundlagen der LST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.2 Der Modalansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Numerisches Verfahren 14
3.1 Grundströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.1 Programm Modifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.2 Parameter der Grundströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.3 Programm Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Linstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Koeffizientenmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.2 Ableitungsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.3 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.4 Generalisiertes Eigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Direkte numerische Simulation (DNS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.1 Eingabedateien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
iv

3.3.2 Ausgabedatein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.3 Gittertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.4 Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Auswertung und Visualisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Ergebnisse 30
4.1 Validierung des Programms Shearwake 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1.1 Programm Validierung 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1.2 Programm Validierung 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Stabilitätsuntersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.1 Stabilität der 3D- Grundströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.2 Einfluß der Querwellenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.3 Einfluß des Winkels φ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Ergebnisse der DNS Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 Zusammenfassung 49
Literaturverzeichnis 51
v

Nomenklatur
Lateinische Buchstaben
cp [-] Isobare Wärmeleitfähigkeit
cv [-] Isochoren Wärmeleitfähigkeit
cph [-] Phasengeschwindigkeit
e [-] Spezifische innere Energie
h [-] Enthalpie
i,j [-] Zälereinheiten der Diskretisierung
J [-] Jacobimatrix
Ma [-] Machzahl
my [-] Zahl der Gitterpunkten in y-Richtung
nx [-] Zahl der Gitterpunkten in x-Richtung
p [-] Druck
Pr [-] Prandtl Zahl
�q [-] Vektor der Strömungsgrößen
˙q [-] Wärmestrom
Re [-] Reynoldszahl
R [-] Spezifische Gaskonstante
T [-] Temperatur
t [-] Zeit
�v [-] Geschwindigkeitsvektor (u,v,w)
u [-] Geschwindigkeit in x-Richtung
U [-] Anstromgeschwindigkeit
v [-] Geschwindigkeit in y-Richtung
w [-] Geschwindigkeit in z-Richtung
x,y,z [-] kartesische Koordinaten
x0 [-] Beginn des Integrationsgebietes
vi

Lateinische Buchstaben
α [-] Längswellenzahl
∆x [-] Schrittweite in x-Richtung
∆y [-] Schrittweite in y-Richtung
∆z [-] Schrittweite in z-Richtung
∆t [-] Zeitschritt
ϑ [-] Wärmeleitfähigkeit
η [-] Änlichkeitsvariable
γ [-] Querwellenzahl
κ [-] Isentropenexponent
ω [-] Frequenz, Zeitlische Anfachung
µ [-] dynamische Viskosität des Strömungsmediums
ν [-] kinematische Viskosität des Strömungsmediums
ψ [-] Stromfunktion
φ [-] Schiebewinkel
β [-] Ausbreitungsrichtung der Störungswelle
σ [-] Spannungstensor
τ [-] Scherspannung
ρ [-] Dichte des Strömungsmediums
Sub-Indizes
1,2 Obere, bzw. untere Strömung
∞ Umgebungsbedingungen (bei Wandgrenzschichten)
0 Grundströmungsgröße
r reelle Größe
i imaginäre Größe
Top-Indizes
′ Störwert
ˆq Amplitude (des Wertes ”q”)
∗ Dimensionsbehafteter Wert
Kürzel
LST Lineare Stabilitätstheorie
DNS Direkte Numerische Simulation
vii

1 Einleitung
Motivation
Freie Scherschichten treten sowohl in der Natur als auch in vielen technischen Anwendungen auf. Bei-
spiele sind Düsenströmungen oder Strömungen um einem Flugzeugsflügel unter einem einstellwinkel,
wo sich eine dreidimensionale freie Scherschicht nach der Hinterkante entwickelt. Bei Zweistromtrieb-
werke ergibt sich durch die unterschiedlichen Geschwindigkeiten in Haupt- und Nebenstrom eine freie
Scherschicht.
Es ist eine bekannte Erscheinung, daß ein laminares, freies Grenzschichtprofil für nicht zu kleine
Reynoldszahlen gegenüber kleinen Störungen instabil ist und sich unter bestimmten Bedingungen
aufrollen kann.
Durch den vorhandenen Wendepunkt in dem Strömungsprofil bilden sich in den Schichtenströmun-
gen die sogennanten Kelvin-Helmholtz-Instabilitäten. Die Dynamik der freien Scherschicht wird über
einen weiten Frequenzbereich durch diese konvektive Instabilität dominiert.
Abb. 1.1: Aufrollvorgang in der freien Grenzschicht eines axialsymmetrischen
Luftfreistrahles. [14]
Die Kelvin-Helmholtz-Instabilität beschreibt die raümliche und zeitliche Ausbreitung einer in dieser
Scherschicht aufgeprägten Störung.
Die Instabilität der Scherschicht ist allein auf die Form des Strömungsprofils zurückzuführen und
1

Einleitung 2
praktisch unabhängig von der viskosität, im Gegensatz zur Tollmien-Schlichting-Instabilität, die erst
durch die viskositätsbedingte zeitliche Schwankung des Strömungsprofils an einer Wand entstehen
kann. In der Scherschicht, führt die Geschwindigkeitsverteilung zunächst zur Ausbildung einer Wirbel-
kette. Die einzelnen Wirbel beeinflussen sich gegenseitig. Das führt mit der Zeit zu einem Verschmel-
zen dieser Wirbeln (Vortex pairing). Diese kohärente Strukturen sind die Quelle eines Großteiles des
auftretenden Lärms in viele technischen Anwendungen. Kibens [11] hat gezeigt dass der größte Lärm
bei den Subharmonischen Frequenzen der Fundamentalfrequenz der eingebrachten Störung erzeugt
wird.
Dreidimensionale stationäre Störungen sind in der Lage, unter Umständen die Lärmentwicklung
positiv zu beeinflüßen. Deshalb werden die Düsenende moderner Flugzeuge eingekerbt um den abge-
strahlten Schall zu verringern.
Die freie Scherschicht
Eine freie Scherschicht entwickelt sich zwischen Fluide in zwei ebenen, parallelen Strömungen mit
verschiedenen Geschwindigkeiten . Eine solche Strömung entsteht z.B. hinter einer Platte. Die Kelvin-
Helmholtz-Instabilität beschreibt die Entwicklung dieser Scherschicht unter einer äußren Störung.
Abb. 1.2: Ablenkung der Strömungsrichtung von
der Anströmrichtung bei einer Scherschicht (A >
0)[1]
Die theoretische Behandlung der Instabilität von freien Grenzschichten geht auf H.Helmholz [7]
zurück. Er untersuchte den einfachsten Fall einer Grenzschicht, nämlich eine unendliche dünne Wir-
belschicht in idealer Flüssigkeit und kommt zu dem Schluß, daß die gestörte Wirbelschicht sich
aufrollen müsse. Lord Rayleigh [15] konnte dann beweisen, daß eine Wirbelschicht in idealer Flüssig-
keit gegenüber kleinen wellenförmigen Störungen beliebiger Frequenzen instabil ist. Weiterhin könn-
te Lord Rayleigh zeigen, daß ganz allgemein jedes Geschwindigkeitsprofil mit Wendepunkt bereits
bei Vernachlässigung der Reibung gegenüber einem bestimmten Bereich von Störfrequenzen bzw.

Einleitung 3
-Wellenlänge instabil wird. Es handelt sich dabei um einen reibungslosen Effekt und die hinzukom-
mende Reibung wirkt lediglich dämpfend. Eine Erklärung für die Aufrollen der Grenzschicht läßt
sich aber allein mit Hilfe der linearisierten Stailitätstheorie nicht finden.
Will man die nichtlineare Entwicklung eines gestörten Geschwindigkeitsprofils mit Wendepunkt
nährungsweise berechnen so hat man zweckmäßigerweise zunächst eine Stabilitätsrechnung nach der
linearisierten Theorie durchzuführen. Dann kennt man die Wellenlängen, für die die Störung in der
Grenzschicht angefacht werden, insbesondere die Wellenlänge mit der maximalen Anfachung.
Abhängig von der Art der Strömung hat eine Anregung eine lokale oder globale Beeinflussung des
Strömungsbildes zur Folge. In einer Scherschicht unterscheidet man zwischen einer konvektiven und
einer absoluten Instabilität. Für zwei Fluidschichten mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten U1 und
U2, kann die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer infinitesimalen, räumlichen und zeitlichen impulsfor-
migen Störung aus Symmetriegründen mit Um = U1+U2
2 angenährt werden. In einem Bezugsystem, in
dem U1 gerade −U2 ist, wächst die Störung zeitlich an und bleibt am Ort der Störung für alle Zeiten
stehen, man spricht dann von einer absoluten Instabilität. In einem Bezugssystem, dass sich mit U2
bewegt, schwimmt der Störimpuls vom Störort ab und wird raümlich exponentiell angefacht; nach
einer gewissen Zeit verschwindet die Störung am Störort. Man spricht dann von einer konvektiven
Instabilität.
Freie Scherschichten sind konvektiv instabil, bei entgegengesetzten Strömungsrichtungen der Außen-
schichten auch absolut instabil, was einer Kelvin-Helmholtz-Instabilität entspricht. Dieser resultiert
aus der Tatsache, dass das Geschwindigkeitsprofil zu allen x-positionen, und somit zu allen Reynolds-
zahlen einen Wendepunkt besitzt, also das verallgemeinte Wendepunktkriterium für kompressible
Strömung
stets erfüllt ist.
d
dy (ρdu ) = 0 (1.1)
dy
Der Begriff der Kelvin-Helmholz-Instabilität kann weiter gefasst werden, wenn man in den Schichten
verschiedene Fluide, mit verschiedenen Dichten und Flächenspannungen zulässt und die Gewichts-
kraft mit einbezieht.
Während der Vergangenheit, hat sich die Forschung auf das Stabilitätesverhalten einer freie Scher-
schicht mit zweidimensionaler Grundströmung konzentriert. Hingegen setz dieser Arbeit den Ak-
zent auf das Stabilitätsverhalten einer freie Scherschicht mit einer Geschwindigkeitskomponente in
Spannweiterichtung. Eine solche dreidimensionale Scherschicht tritt immer auf, wenn die Geschwin-
digkeitsvektoren der Grundströmung in verschiedenen Richtungen zeigen. 3D-Scherschichten sind Teil
verschiedener Strömungskonfigurationen in der Natur und auch in vielen technischen Anwendungen.
Bis Heute gibt es nur wenige Veröffentlichungen, die diese Thema behandeln. Lu und Lele [13] [12]
haben mittels der linearen Stabilitätstheorie detaillierte Untersuchungen der Stabilitätsverhalten ei-
ner dreidimensionalen kompressiblen und inkompressiblen freien Scherschicht durchgeführt. In ihre
Studie wurden die Ausbreitungsrichtung und die Anfachung der Störung mit festgehaltenen Querwel-
lenzahl ermittelt. Für inkompressible Strömungen wurde festgestellt: je schräger die Grundströmung
ist desto größer die Störungswachstum wird.

Einleitung 4
Fiedler et al [4] haben eine Klassifizierung der dreidimensionalen freien Scherschicht mit gleichförmi-
gen und ungleichförmigen Außenströmung erstellt.
Die Experimentelle Untersuchungen von Gründel und Fiedler [6] haben sich auf eine Scherschicht
konzentriert, die zwischen freie Strömungen mit dem gleichen Geschwindigkeitsbetrag aber mit ei-
nem schiefen Winkel φ = ±15 bezogen auf der Achse der Ebene Platte auf tritt. Sie fanden, daß
Wirbeln in Strömungsrichtung nach der Hinterkante der Platte auf treten. Diese Wirbeln fusionieren
stromabwärts zu größeren Wirbeln und dadurch wird das Mischen in der Scherschicht gesteigert.
Friedler und Luo [9] haben das lineare und nicht lineare Stabilitätsverhalten von dreidimensionalen
Scherschichen zwischen dreidimensionalen Außenströmungen untersucht. Experimentelle und nume-
rische Studien haben auch hier gezeigt, daß solche Scherschichten die Mischung erhöhen. Die expe-
rimentellen Untersuchungen haben auch Besonderheiten bezüglich die Richtung und Festigkeit der
kohärenten Strukturen in solche Strömungen gezeigt, für dieses vor dieser Studie keine Erklärung gab.
Die verbesserte schwach nicht-lineare Stabilitätstheorie kann sehr gut die beobachtete Phenomene in
dieser Experimenten erklären.
In dieser Arbeit wird versucht durch die numerische Untersuchung einen besseren Einblick über solche
komplexe dreidimensionale Strömungen zu erhalten.
Zielsetzung
Dreidimensionale Scherschichten sind in der Natur keine Ausnahme, deshalb ist das grundlegen-
des Verständnis der hydrodynamischen instabilitäten in dreidimensionalen freie Schichschten eine
sehr wichtige Voraussetzung um Strategien für Strömungskontrolle zu entwickeln. Ziel dieser Arbeit
ist die Untersuchung des linearen Stabilitätsverhalten einer dreidimensionalen kompressiblen freien
Scherschicht, die durch die Interaktion zwischen der oberen und der unteren Grenzschicht an einem
Düsen Ende entsteht. Dafür wurde eine Direkte Numeriche Simulation (DNS) benutzt mittels des
Programms NS3D, das im IAG entwickelt wurde. Als erster Schritt wurde ein Programm, das die
zweidimensionale kompressible Grenzschichtsgleichungen löst, angepasst um dreidimensionale Grenz-
schicht, die im Hauptprogramm als Grundströmung benutz wird, zu berechnen. Diese Anfangsbedin-
gung stellt hierbei zwei dreidimensionale Grenzschichten mit unterschiedlichen Freistromgeschwin-
digkeiten ober- und unterhalb einer ebenen Platte ohne Druckgradient, die das Düsenende modelliert.
Durch den Vergleich der Grenzschichtlösung mit der Navier-Stokes Lösung aus dem DNS Code wird
überprüft, ob die getroffene Annahme für die Berechnung der dreidimensionalen Grenzschicht zutref-
fend sind. Das Modell der lineare Stabilitätstheorie wurde benutzt um das Stabilitätsverhalten der
Grenzschicht und der Scheschicht zu bestimmen. Mithilfe der Ergebnisse aus dieser Studie wurde in
NS3D Störungen eingeleitet um die Entwicklung der Grundstömung unter einer aüßeren Störung zu
untersuchen.

2 Grundgleichungen
2.1 Navier-Stokes Gleichungen
Ausgangsgleichungen für die numerische Behandlung in der vorliegenden Arbeit sowohl im Haupt-
programm NS3D als auch für die lineare Stabilitätsuntersuchung sind die Navier-Stokes Gleichungen
für kompressible, instationäre dreidimensionale Strömungen.
2.1.1 Normierung der Größen
Um die Ergebnisse vergleichen und leicht übertragen zu können werden die verschiednen Strömungs-
größe mit der entsprechenden Größen aus der ungestörten Außenströmung normiert. [17]
u = u∗
U ∗, v =
0
v∗
U ∗, w =
0
w∗
U ∗ 0
x = x∗
L∗, y =
0
y∗
L∗, z =
0
z∗
L∗ 0
t = t∗ U0
L ∗ 0
U ∗ 0 und p∗0 Außenströmung in der oberen Grenzschicht. L∗ 0
, p = p∗
U ∗2
ρ ∗ 0
0
(2.1)
(2.2)
(2.3)
sind die dimensionsbehaftete Geschwindigkeit und der dimensionsbehaftete Druck der
ist die Verdrängungsdicke der Grenzschicht an einer
Referenzstelle x0. Alle anderen Größen werden auf den Freistrombedingungen der oberen Grenz-
schicht normiert.
2.1.2 Navier-Stokes Gleichungen
Bei dem Programm NS3D werden die instationären kompressiblen dreidimensionalen Navier-Stockes-
Gleichungen in konservativer Formulierung integriert. Der Vektor der Konservativen Variablen ist
definiert als:
⎛ ⎞
ρ
⎜ ⎟
⎜ρu⎟
⎜ ⎟
Q = ⎜
⎜ρv
⎟
⎜ ⎟
⎝ρw⎠
5
E
(2.4)

Grundgleichungen 6
Die Kontinuitätsgleichung, die drei Impulsgleichungen sowie die Energiegleichungen lauten in Vek-
torschreibweise:
F, G und H sind die Flußvektoren:
mit den Normalspannungen:
den Schubspannungen:
F =
G =
H =
⎛
⎜
⎝
∂Q
∂t
∂F ∂G ∂H
+ + + = 0 (2.5)
∂x ∂y ∂z
ρu
ρu 2 + p − τxx
ρuv − τxy
ρuw − τxz
u(E + p) + qx − uτxx − vτxy − wτxz
⎛
ρv
⎜ ρuv − τxy
⎜ ρv
⎜
⎝
2 ⎞
⎟
+ p − τyy
⎟
ρvw − τyz ⎠
⎞
⎟
⎠
v(E + p) + qy − uτxy − vτyy − wτyz
⎛
ρw
⎜ ρuw − τxz
⎜ ρvw − τyz
⎜
⎝ ρw2 ⎞
⎟
+ p − τzz ⎠
w(E + p) + qz − uτxz − vτyz − wτzz
τxx = µ
Re
τxy = µ
Re
τxx = µ
Re
� �
4 ∂u 2 ∂v 2 ∂w
− −
3 ∂x 3 ∂y 3 ∂z
� �
4 ∂v 2 ∂u 2 ∂w
− −
3 ∂y 3 ∂x 3 ∂z
� �
4 ∂w 2 ∂u 2 ∂v
− −
3 ∂z 3 ∂x 3 ∂y
τxy = µ
� �
∂u ∂v
+
Re ∂y ∂x
� �
∂u ∂w
+
∂z ∂x
τyz = µ
� �
∂v ∂w
+
Re ∂z ∂y
τxz = µ
Re
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)

Grundgleichungen 7
und den Wärmeströmen:
qx =
qy =
qz =
2.1.3 Zustandsgleichung des idealen Gases
ϑ
(κ − 1)RePrMa 2 ∂T
∞ ∂x
ϑ
(κ − 1)RePrMa 2 ∂T
∞ ∂y
ϑ
(κ − 1)RePrMa 2 ∂T
∞ ∂z
Häufig wird in der Gasdynamik ein ideales Gas vorausgesetzt, dessen Zustandsgleichung [5]
(2.15)
(2.16)
(2.17)
p = ρRT (2.18)
lautet; darin ist R die spezifische Gaskonstante des betrachteten Fluids. Die Gleichung wird als
Schließbedingung verwendet.
Mit der Annahme eines kalorischen perfekten Gases (d.h. die spezifischen isobaren bzw. isochoren
Wärmekapazitäten cp und cv sind konstant) wird die allgemeine kalorische Zustandsgleichung e =
e(p,T) bzw. h = h(p,T) zu
2.1.4 Viskosität
e = cvT bzw. h = cpT (2.19)
Die Berechnung der dynamischen Viskosität µ, die im allgemeinen Fall von Druck und Temperatur
abhängig ist, erfolgt mit Hilfe des Sutherland-Gesetzes [5]
µ(T) ∼ T 3 1 + Ts
2
T + Ts
(2.20)
Hier ist die Temperatur in Kelvin einzusetzen. Die größe Ts wird als Sutherland-Temperatur bezeich-
net, ihr Wert beträgt Ts = 110,4K.
Als Bestimmungsgleichung für die Wärmeleitfähigkeit ϑ wird die Prandtl-zahl als
Pr = µcp
ϑ
(2.21)
eingeführt. Vereinfachend soll im Weiteren die Annahme einer konstanter Prandtlzahl getroffen wer-
den. Damit wird die Wärmeleitfähigkeit abhängig von der Temperatur.

Grundgleichungen 8
2.2 Grenzschichtgleichungen für quasi-zweidimensionale Strömung
Die Ausgangsgleichungen für die Berechnung der Anfangsbedingung, die aus zwei Grenzschichten mit
unterschiedlichen Freistromgeschwindigkeit oberhalb und unterhalb einer unendlichen schiebenden
ebenen Platte ohne Druckgradient und der dahinter entwickelten freie Scherschicht, sind die soge-
nannten prandtlschen Grenzschichtgleichungen für kompressible quasi-zweidimensionale Strömungen.
Es erscheint sinnvoll, die im vorherigen Abschnitt angegebenen Grundgleichungen angepaßt an das zu
behandelnde Stömungsproblem soweit wie möglich zu vereinfachen. Eine Möglichkeit dazu stellt das
von Prandtl eingeführte Grenzschicht Konzept dar, bei dem sich der Einfluß der Zähigkeit auf eine
dünne Schicht nahe einer festen Wand beschränken soll. In dieser Grenzschicht geht die Strömugsge-
schwindigkeit zur Wand hin auf den Wert Null zurück (Haftbedingungen). Damit ist der Gradient der
Geschwindigkeit im allgemeinen normal zur Wand groß gegenüber dem Gradient der Geschwindigkeit
parallel zur Oberfläche. Dies bedeutet, daß selbst bei sehr kleiner Zähigkeit die Reibungsschubspan-
nung große Werte annehmen kann. Eine ausfürlicche Beschreibung des Grenzschichtkonzepts ist in
[18] gegeben.
Die zu den Grenzschichtgleichungen führenden Vereinfachungen sind nur für Strömungen mit hoher
Reynoldszahl gerechtfertigt. Die Reynoldszahl für einen ungestörten Anströmzustand ist definiert
als:
Re0 = ρ0U0L
µ0
wobei L eine für das zu untersuchende Strömungsproblem charakteristische Länge ist und
U0 =
die resultierende Anströmgeschwindigkeit ist.
�
u 2 0 + v2 0 + w2 0
(2.22)
(2.23)
Die Grenzschicht einer dreidimensionalen Strömung wird als quasi-zweidimensional bezeichnet, wenn
die Grenzschichtgleichungen bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems nur noch zwei unabhängige
Variable enthalten. Dies ist der Fall einer Platte unendlicher Spannweite. Hier entfällt bei wirbelfreier
Strömung außerhalb der Grenzschicht die Abhängigkeit von der Koordinate z und dementsprechend
fallen alle Terme mit z-Abhängigkeit von den dreidimensionalen Grenzschichtgleichungen, die in [5]
gegeben wurden, weg.
Damit haben die kompressible Grenzschichtgleichungen für die schiebende Platte unendlicher
Spannweite ohne Druckgradient folgende Form [5]:
Kontinuitätsgleichung
∂(ρu)
∂x
+ ∂(ρv)
∂y
= 0 (2.24)

Grundgleichungen 9
Impulsgleichung in x-Richtung
Impulsgleichung in z-Richtung
Energiegleichung
∂(ρuht)
∂x
+ ∂(ρvht)
∂y
∂(ρu 2 )
∂x
∂(ρuw)
∂x
+ ∂(ρuv)
∂y
+ ∂(ρvw)
∂y
�
∂
= µ
∂y
∂u
�
∂y
�
∂
= µ
∂y
∂w
�
∂y
� �
∂ µ ∂ht
= · + µ 1 −
∂y Pr ∂y 1
�
∂
Pr ∂y
Die Randbedingungen für das obige Gleichungssystem lauten an der Wand
�
u2 + w2 ��
2
(2.25)
(2.26)
(2.27)
y = 0 : u = 0, v = 0, w = 0, (2.28)
� �
∂h
h = hw oder = 0 (2.29)
∂y
und am Grenzschicht, also am Übergang zur Potentialströmung
y = ye : u = ue, w = we, (2.30)
∂u
∂y
= 0,
∂w
= 0,
∂y
h = he (2.31)
An der Wand muß für die Geschwindigkeitskompenenten u und w die Haftbedingung erfüllt sein;
außerdem wird eine Grenzschicht ohne Absaugen bzw. Ausblasen betrachtet, damit ist v = 0. Als
Randbedingung der Energiegleichung soll zwischen der Vorgabe einer konstanten Temperatur T (bzw.
Enthalpie h) an der wand oder einer adiabaten Wand gewählt werden können.
Die Strömungsgrößen u, w und h am Grenzschichtrand sollen denen der Potentialströmung entspre-
chen. Weiterhin wird angenommen, daß außerhalb der Grenzschicht keine Gradienten der wandpar-
allelen Geschwindigkeiten mehr vorhanden sind.
Entsprechend diesen Gleichungen wurde das original 2D Programm für die Berechnung der zweidi-
mensionalen Grenzschicht geändert um quasi-zweidimensionalen Grundströmung zu bestimmen.
w

Grundgleichungen 10
2.3 Transformierte Grenzschichtgleichungen
Um die Grundgleichungen zu vereinfachen werden Koordinaten Transformation durchgeführt. Das
sind die sogenannten Änlichkeitstransformationen, bei denen die transformierten Grenzschichtglei-
chungen nur für eine x-Position gelöst werden müssen.
An dieser Stelle sei bemerkt, daß die Grundgleichungen durch die Transformation in eine dimensi-
onslose Darstellung überfürt werden.
Die x-Koordinate bleibt von der Transformation unberührt, während die y-Koordinate gemäß
dη(x,y) =
�
U0
ρ(x,y)dy (2.32)
ν0x
transformiert wird. Sie lautet dementsprechend in integraler Formulierung
wobei η die Ähnlichkeitskoordinate ist.
η(x,y) =
� � y
U0
ρ(x,y)dy (2.33)
ν0x 0
Zusätslich wird ein Zweikomponenten-Vektorpotential, das die Kontinuitätsgleichung (2.16) erfüllt
durch
ρu = ∂ψ
∂y
∂φ
, ρv = −∂ψ , ρw =
∂x ∂y
eingeführt. Die als Potentialfunktionen bezeichneten Größen ψ und φ sind als
definiert. Weiterhin wird
(2.34)
ψ = � ν0xU0f(η) (2.35)
φ = � ν0xU0
W0
U0
f ′ (x,η) = U(x,η)
U0
g(x,η) = W(x,η)
g(η) (2.36)
festgelegt, wobei der Strich ( )’ die partielle Ableitun nach der Ähnlichkeitskoordinate η bedeutet.
Der impulssatz vereinfacht sich zu:
( ν
f
ν0
′′ ) ′ + 1
2 ff′′ �
= x
( ν
g
ν0
′ ) ′ + 1
2 fg′ = x
W0
f
′∂f ′
∂x
�
− f
′′∂f
∂x
�
′ ∂g
f − g′∂f
∂x ∂x
�
(2.37)
(2.38)
(2.39)
(2.40)

Grundgleichungen 11
Die Randbedingungen werden an der Wand:
und an der Grenzschicht:
2.4 Lineare Stabilitätstheorie
η = 0 : f = f ′ = 0
η → ∞ : f ′ = 1
g = 0 (2.41)
g = 1 (2.42)
Störungen in einer laminaren freien Grenzschicht für nicht zu kleine Reynoldszahlen können zeitlich
und raümlich abklingen oder wachsen.
Klingen die Störungen mit der Zeit ab, so wird die Grundströmung als stabil gesehen, wachsen
sie zeitlich an, so ist die Grundströmung instabil, d.h. es ist die Möglichkeit des Überganges in
die turbulente Strömungsform gegeben. Es lässt sich auf dieser Weise eine Stabilitätstheorie der
Laminarströmung entwickeln, deren Ziel die theoretische Berechnung der Indifferenz-Reynoldszahl
für eine vorgegebene Laminarströmung ist.
Der Grundgedanke der Stabilitätstheorie ist zuerst von O. Reynolds [16] ausgesprochen worden. Die
weitere Arbeit an dieser Theorie wurde von Lord Rayleigh durchgeführt.
Erst in etwa der dreißiger Jahre ist das ursprüngliche Ziel, nämlich die theoretische Berechnung einer
Indifferenz-Renoldszahl von L. Prandtls Mitarbeiter W. Tollmien und H. Schlichting in befriedigender
Weise erreicht worden.
Für die Lineare Stabilitätstheorie werden nur kleine Störungen Untersucht. Grund dafür ist die
Linearisierung der Gleichungen, welche nur für kleine Störwerte durchgeführt werden kann.
Die LST wird bei primären Instabilitäten eingesetzt. Sobald die Amplituden der Störungen zu groß
wird und nicht lineare Effekte auftreten, muss auf nicht lineare Theorie oder Direkte Numerische
Simulation umgesattelt werden.
2.4.1 Grundlagen der LST
Bei der Stabilitätsuntersuchung der Laminaren Strömung wird die Bewegung zerlegt in die Grund-
strömung, deren Stabilität untersucht werden soll, und in eine überlagerte Störungsbewegung.
q = q0 + q ′
(2.43)

Grundgleichungen 12
Damit gilt für die verschiedenen Strömungsgrößen:
ρ = ρ0 + ρ ′
u = U0 + u ′
v = V0 + v ′
w = W0 + w ′
T = T0 + T ′
(2.44)
Hier wird eine parallele Grundströmung vorausgesetzt. Damit werden die verschiedenen Strömungs-
größen nur von y abhängen und V0 = 0 gesetzt.
Die Amplituden der Störungen, die sich durch die Grenz. bzw Scherschicht bewegen sind dabei im
Vergleich zur Grundströmung klein, sodaß eine lineare Theorie angewandet werden kann.
q ′

Grundgleichungen 13
2.4.2 Der Modalansatz
Die kleinen Störungen werden durch einen Modalansatz beschrieben.
q ′ (x,y,z,t) = ˆq(y)e i(αx+γz−ωt)
Hier ist α die Wellenzahl in x-Richtung, γ die Wellenzahl in z-Richtung und ω die Kreisfrequenz.
(2.51)
Die Amplitudenfunktion stellt den Verlauf der kleinen Störungen über die Grenz- bzw. Scherschicht
dar und wird hierbei durch den Eigenvektoren des nachfolgenden ausgeführten Matrixverfahren be-
schrieben.
Es wird zuerst in einem Zeitlichen und einem räumlichen Problem Aufgeteilt. Da die Gleichungen
linear in ω aber quadratisch in α sind, wird zuerst das zeitlische problem gelöst. In der zeitlichen Ana-
lyse, wird α und γ als reelle Zahlen vorgegeben, und das komplexe ω = ωr + iωi wird gesucht, wo ωr
die Anregungsfrequenz ist und ωi die zeitliche Anfachung. Dabei bedeutet ein positiver Imaginärteil
ωi > 0 eine Anfachung, und ein negativer Wert eine Dämpfung der Störung
q ′ = ˆq(y)e wit e i(αx+γz−ωrt)
(2.52)
Wird aber ω und γ als reell eingegeben, und das komplexe α = αr + iαi gesucht, dann handelt es
sich um eine räumliche Analyse, wo αr die Längswellenzahl und αi die Anfachung bzw. Dämpfung
der Störung sind.
Eine Ausführlische Beschreibung der linearen Stabilitätstheorie ist in [20] und [19] gegeben.

3 Numerisches Verfahren
Anhand dieser Kapitel werden die verschiedenen Programme, die für die Untersuchung der Stabilität
einer Scherschicht hinter der ebenen Platte benutzt wurden eingehend erläutert. Die Reihenfolge für
die Verwendung diese Programme ist in Abb. (3.1) zu sehen.
3.1 Grundströmung
Abb. 3.1: Reihenfolge der Verfahren
Erster Schritt in der vorliegenden Arbeit ist die Erzeugung einer Grundströmung, die als Anfangs-
bedingung für die weitere numerische Berechnung benutzt wird, mittels des Programms Shearwake
3D. Das Programm wurde mit der Programmiersprache FORTRAN 90 geschrieben. Die Anfangs-
bedingung stellt hierbei zwei dreidimensionalen kompressiblen Grenzschichten mit unterschiedlichen
Freistromgeschwindigkeiten oberhalb und unterhalb einer ebenen Platte, die das Düsen ende model-
liert. Aus der Grenzschichtgleichungen wird mit diesem Programm der Nachlauf inkl. Scherschicht
nach der Platte berechnet.
Das Rechnungsgebiet wird in Abb. (3.2) gezeigt.
Es besteht aus 8 Teilgebiete: ein oberhalb und ein unterhalb der ebenen Paltte, und sechs andere
hinter der Platte wo die Scherschicht sich entwickelt. Für die Berechnug der Grundströmung wurde
nur ein zweidimensiolnales Gebiet benutzt, da die Strömung entlang der Spannweiterichtung konstant
ist (Abschnitt (2.2)).
3.1.1 Programm Modifikation
Bei der dreidimensionalen Grenzschicht weist der Geschwindigkeitsvektor der Außenströmung einen
Winkel mit der Vorderkante der ebenen Platte.
14

Numerisches Verfahren 15
Abb. 3.2: Rechnungsgebiet
Um die dreidimensionale Grundströmung zu bestimmen, wurde das originale zweidimensionales Pro-
gramm Shearwake 2D durch geeignete Transformationen in einem dreidimensionalen Programm
umgewandelt, bei dem die zweidimensionale Strömung durch eine Geschwindigkeitskomponente in
Spannweiterichtung w erweitert wurde. Die für diese Transformationen benötigten Gleichungen sind
in Abschnit 2.2 gegeben. Damit wurde das ursprüglische Programm mit dem Impulserhaltugssatz in
z-Richtung (Gl. (2.18)) sowie mit der quasi-zweidimensionalen Energiegleichung (Gl. (2.19)), die für
die Berechnung von ∂ρ
∂x
benötigt wird, erweitert .
Eine der möglichen Strömungskonfigurationen für eine dreidimensionale Außenströmung ist in Abb.
(3.3) zu sehen, wo φ1 und φ2 die Winkeln zwischen den Geschwindigkeitsvektoren der Außenströmung
oberhalb und unterhalb der ebenen Platte und der x-Achse.
Um aus einer zweidimensionalen Grenzschicht eine dreidimensionale Grenzschicht zu erzeugen, wird
hier einfach das zweidimensionale Grenzschichtprofil um die y-Achse mit dem Winkel φ1 oder φ2
gedreht. Damit bekommt man ein dreidimensionales Grenzschichtprofil ohne die komplizierten quasi-
zweidimensionale Grenzschichtgleichungen zu lösen.
Die Geschwindigkeiten in der Grenzschicht in Strömungsrichtung und in Spannweiterichtung ober-
halb und unterhalb der ebenen Platte ergeben sich aus:
Für die obere Grenzschicht
und für die untere Grenzschicht
u1 = U1(y)cos φ1 (3.1)
w1 = U1(y)sin φ1 (3.2)
u2 = U2(y)cos φ2 (3.3)
w2 = U2(y)sin φ2 (3.4)

Numerisches Verfahren 16
Ebene Paltte
z
U 2
φ 1
φ 2
U 1
Abb. 3.3: 3D Strömungskonfiguration
Wo U1(y) die Geschwindigkeitsverteilung des gedrehten zweidimensionalen Grenzschichtprofils.
Außerhalb der Grenzschicht und der Scherschicht herrschen diese Bedingungen:
Für die oberen Gebiete :
und für die unteren Gebiete
In der Mitte wird v1 = v2 = 0 als Randbedingung eingegeben.
3.1.2 Parameter der Grundströmung
x
u01 = U01 cos φ1 (3.5)
w01 = U01 sin φ1 (3.6)
u01 = U02 cos φ1 (3.7)
w01 = U02 sin φ1 (3.8)
Für die Berechnung des Nachlaufes werden verschiedene Parameter für das Programm Shearwake
3D benötigt. Diese Parameter werden in einer Inputfile spezifiziert. Es handelt sich dabei um eine
normale Textdatei mit dem Namen Shearwake.i (Abb. (3.4)) und ist erforderlich um das Programm
ausführen zu können.

Numerisches Verfahren 17
Abb. 3.4: Shearwake.i

Numerisches Verfahren 18
Parameter Typ Bedeutung
my Integer Zahl der Gitterpunkte in y Richtung
nx Integer Zahl der Gitterpunkte in x Richtung
nwel Integer Punkte pro Wellenlänge in x-Richtung → ∆x = 2π/(α · nwel)
alpha Real Wellenzahl α in x-Richtung
dy Real Schrittweite ∆y in y-Richtung
Re Real Reynolszahl
Pr Real Prandtlzahl
p unend Real Anströmdruck p∞ [bar]
rb ausstrom Integer Randbedingung im Ausstromrand
Machzahl Real Machzahl
T unend Real Anströmtempertaur T∞ [K]
x0 Grenzschicht Real Grenzschicht Stelle x0 am Anfang der Paltte
Gebiete in y Integer Anzahl der Gebiete in y-Richtung
rb einstrom Integer Einstrom Randbedingung
rb freistrom Integer Freistrom Randbedingung
rb wand Integer Randbedingung an der Wand
T wand Real Temperatur an der Wand [K]
Gebiete in x Integer Anzahl der Gebiete in x-Richtung
Gittermodus Integer Art der Gittertransformation
3.1.3 Programm Beschreibung
Tab. 3.1: Bedeutung der Wichtigsten Parameter
Das modifizierte Programm Shearwake besteht aus viele Subroutine, die zur Berechnung des Nach-
laufes inkl. Scherschicht nach einer ebenen Platte dienen.
Um einen grundlegenden Überblick über die Arbeitsweise des Programms zu geben, sind in Folgen-
den die wichtigsten Schritte für die Berchnung des Nachlaufes erklärt.
Zuerst findet das Einlesen der in dem Inputfile Shearwake.i eingegebenen Parameter statt. Weiterhin
werden die Speicher für die verschiedenen Gebiete allokiert.
Danach werden Daten, die für die Berechnung in dem gesamten Programm nötig sind wie z.b.
die Schrittweite in x-Richtung, die Geschwindigkeitsverhältniss zwischen obere und untere Außen-
strömung aber auch die nötigen Daten für die Berechnung des Profils der Grenzschicht berechnet
Als nächster Schritt werden Die Grenzschichten oberhalb und unterhalb der Paltte mithilfe des Mo-
duls PROFKOM bestimmt. Hier werden die verschiedenen Grenzschichtdaten abgespeichert um sie
in den anderen Subroutinen benutzen zu können.
Mit dem Modul PROFKOM [5] wird das Grundströmungsprofil für die ebene kompressible zweidi-
mensionale Plattengrenzschicht für eine Machzahl zwischen 0 und 10 berechnet.
Danach wird das Gitter für alle Gebiete erzeugt. Der Nullpunkt ist dabei die Hinterkante der Platte.
Das Gitter hier können äquidistant oder gestreckt in y-Richtung sein. Dieses hängt von dem angegebe-
nen Gittermodus ab. Wenn der Gittermodus gleich 0 ist , ist der Abstand zwischen alle Gitterpunkte

Numerisches Verfahren 19
gleich ansonsten ist das Gitter gestreckt. Hier ist ein gestrecktes Gitter am besten geeignet für die
numerische Berechnung einer Grenzschicht oder einer Scherschicht, wo die Geschwindigkeitsänderung
nur in einem sehr kleinen Bereich um y = 0 statt findet. Außerhalb diesem Bereich ist die Strömung
Uniform. In x-Richtung ist das Gitter äquidistant. Als nächstes werden die Grenzschichten ober- und
unterhalb der Platte auf das erzeugte Gitter interpoliert mittels eines quadratischen Interpolations-
unterprogramm
Anschließend werden die Grenzschichtgleichungen, die im Abschnitt 2.2 gegeben wurden, Stromab
integriert um den Nachlauf hinter der ebenen Platte zu bestimmen. Dafür wird zuerst für eine gege-
bene x-Stelle alle Ableitungen nach y berechnet. Dafür wurde ein zentrales Differenz Verfahren im
Feld benutzt:
∂Φ
∂y
= −Φ(i − 1,j) + Φ(i + 1,j)
2∆y
An der Ränder wurde eine einseitige Differenz benutzt:
∂Φ
∂y
∂Φ
∂y
−Φ(i + 2,j) + 4Φ(i + 1,j) − 3Φ(i,j)
=
2∆y
Φ(i − 2,j) − 4Φ(i − 1,j) + 3Φ(i,j)
=
2∆y
(3.9)
Unterer Rand (3.10)
Oberer Rand (3.11)
Danach wird die x-Ableitung der verschiedenen Größen mithilfe der Grenzschichtgleichungen be-
stimmt.
Aus dem Impulserhaltungssatz in x-Richtung:
Aus dem Impulserhaltungssatz in z-Richtung:
Aus dem Energieerhaltungsatz:
∂u ∂µ ∂u
∂u −ρRev ∂y + ∂y ∂y
=
∂x + µ∂2 u
∂y2 ρReu
∂w
∂x
= −ρRev ∂w
∂y
∂ρ
∂x = −(cpρ2RePrMa 2 v ∂ρ
∂µ ∂w + ∂y ∂y + µ∂2 w
∂y2 ρReu
∂y κ − ρ2cpRePrMa 2 v ∂ρ
∂y
+ 2µ
− µ ∂2 � �2 ρ ∂u
∂y2ρ + µ PrMa
∂y
2 ρ 3 � �2 ∂u
κ − µ PrMa
∂y
2 ρ 3
� �2 ∂w
+ µ PrMa
∂y
2 ρ 3 � �2 ∂w
κ − µ PrMa
∂y
2 ρ 3 )
� �2 ∂ρ
∂y
(3.12)
(3.13)
/ (ρ 2 cpRePrMa 2 u(κ − 1)) (3.14)

Numerisches Verfahren 20
Die daraus resultierenden x-Ableitungen werden einfach Stromab-integriert.
f(i,j) = f(i,j − 1) + ∂f ∆x
∂x dx verfeinerung
Mit dx verfeinerung, die Verfeinerung der Gitter in x-Richtung aus dem Inputfile Shearwake.i.
(3.15)
Als letztes wird die Grundströmung der Gebiete ausgegeben. Die Abspeicherung erfolgt mit, dem
am IAG entwickelte EAS3-Binärformat, mit dem Dateiname baseflow in [n].eas. Sie werden als
Grundströmung für NS3D benötigt. Hierbei bezeichnet [n] die Gebietsnummer (dreistellig). Es wird
auch die Gebietkonfiguration gebiet.config erzeugt.
3.2 Linstab
Die Stabilitätsuntersuchung erfolgt mithilfe des Programms LINSTAB. In diesem Programm wird
das zeitliche Problem des Modalansatzes (Gl. (2.20)) mit einem Matrixverfahren gelöst.
Im zeitlichen Problem wird α, γ ∈ R vorgegeben und ω ∈ C gesucht.
Das hier ausgeführte Verfahren hat dabei die Form:
∂�q
A0�q + A1
∂y
mit den Koeffizientenmatrizen A0, A1, A2 und B.
Des weiteren stellt
∂
+ A2
2�q = ωB�q (3.16)
∂y2 ⎛ ⎞
ˆρi
⎜ ⎟
⎜ûi⎟
⎜ ⎟
�q = ⎜ ˆvi
⎟
⎟,
⎜ ⎟
⎝ ˆwi ⎠
ˆTi
�q ∈ C, i = 1 · · · N (3.17)
den Lösungsvektor, also den Amplituden Verlauf der Störgrößen über y dar. ω = ωr +iωi stellt dabei
den Eigenwert dar.
3.2.1 Koeffizientenmatrizen
Die Koeffizienten Matrizen werden durch das Einsetzen des Modalansatzes (2.39) in den Navier-
Stokes Gleichungen sowie durch die Venachlässigung alle Terme mit einem quadratischen Störanteil
berechnet.

Numerisches Verfahren 21
Jede Matix besteht aus 25 NxN diagonale Untermatrizen Aikl.
⎛
⎜
Ai = ⎜
⎝
Ai11 Ai12 Ai13 Ai14 Ai15
Ai21 Ai22 Ai23 Ai24 Ai25
Ai31 Ai32 Ai33 Ai34 Ai35
Ai41 Ai42 Ai43 Ai44 Ai45
Ai51 Ai52 Ai53 Ai54 Ai55
⎞
⎟
⎠
(3.18)
Die erste Zeile wird aus der Konti-Gleichung berechnet. Die zweite, dritte und vierte Zeile stehen
für die Impulsgleichungen in x, y und z-Richtung. Die letzte Zeile wird aus der Energiegleichung
Berechnet. Die Submatrix Aikl wird auf alle y-Stellen i = 1 · · · N dargestellt. Die Koeffizienten sind
in [20] gegeben.
3.2.2 Ableitungsmatrizen
Die y-Ableitungen der Amplituden in Gl. (3.16) mit finiten Differenzen werden mit den Ableitungs-
matrizen:
ausgedrückt.
∂�q
∂y = D1 · �q (3.19)
∂ 2 �q
∂y 2 = D2 · �q (3.20)
Die beiden Ableitungsmatrizen D1 und D2 aus Gl. (3.20) und (3.21) bestehen hierbei aus den N x
N Submatrizen D1sub bzw. D2sub welche für je eine der 5 Störgrößen ρ ′ ,u ′ ,v ′ ,w ′ ,T ′ stehen.
⎛
D1sub(ρ) 0 0 0 0
⎜ 0 D1sub(u) 0 0 0
⎜
D1 = ⎜ 0 0 D1sub(v) 0 0
⎜
⎝ 0 0 0 D1sub(w) 0
0 0 0 0 D 1sub(T)
⎛
D2sub(ρ) 0 0 0 0
⎜ 0 D2sub(u) 0 0 0
⎜
D2 = ⎜ 0 0 D2sub(v) 0 0
⎜
⎝ 0 0 0 D2sub(w) 0
0 0 0 0 D 2sub(T)
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
(3.21)
(3.22)
Im Feld bestimmen sich die Koeffizienten der Untermatrizen aus den zentralen finiten Differenzen
vierte Ordnung.

Numerisches Verfahren 22
Für die Größen u,v,w,T wird in Randnähe (also auf dem Rand bzw. im ersten benachbarten Punkt)
eine schiefe Differenz verwendet (Abschnitt 3.2.3), welche mit einem Punkt aus dem Feld herausreicht,
und somit die Randbedingungen u,v,w,T = 0 miteinbezieht. Damit fällt der äußerste Punkt bei
diesen Größen heraus. Für ρ wird eine einseitige Differenzen angewandt da keine Randbedingungen
vorgegeben sind.
Die Dichte ˆρ, kann aus der Kontigleichung in der LST explizit ermittelt werden
∂ρ ′
∂t + ρ0
�
∂u ′ �
∂v′ ∂w′
· + + +
∂x ∂y ∂z
Die Dichtamplitude ergibt sich zu:
�ρ =
i
U0α + W0γ − ω
� �
∂ρ0
· v
∂y
′ ∂ρ
+ U0
′ ∂ρ
+ W0
∂x ′
∂z
�� �
∂ρ0
· v
∂y
′ ∂u
+ ρ0
′ ∂v
+ ρ0
∂y ′
+ ρ0
∂y
∂w ′ �
∂z
= 0 (3.23)
(3.24)
D.h aus der berechnenden Störgeschwindigkeiten u ′ ,v ′ ,w ′ läßt sich die Dichtamplitude bestimmen.
Somit wird aus der Navier-Stockes Gleichungen ein DGL System aus 4 Gleichungen 2.Ordunung d.
h es werden 8 Randbedingungen benötigt.
Die Koeffizienten der Submatrizen sind in [20] gegeben.
3.2.3 Randbedingungen
Für das DGL System aus 4 Gleichungen 2.Ordunung werden 8 Randbedingungen benötigt:
• Dichte ohne Randbedingung
• Außerhalb der Integrationsgebiet u ′ = v ′ = w ′ = T ′ = 0 auf der Ober- und Unterseite der
Scherschicht.
• An der Wand u ′ = v ′ = w ′ = T ′ = 0 (bei der Grenzschicht)
3.2.4 Generalisiertes Eigenwertproblem
Mit den Ableitungsmatrizen läßt sich die Gl. (3.16) zu einem generalisierten Eigenwertproblem zu-
sammenfassen:
wo A = A0 + A1D1 + A2D2 und mit fertigen NETLIB Routine lösen.
A�q = ωB�q (3.25)
Aus dem daraus erhaltenen komplexen Eigenwert ω und dem Vektor der komplexen Eigenfunktionen
�q lassen sich daraufhin Amplitude und Phase berechnen. Die Amplitude und Phase der Störung
ergeben sich aus :
�q =
�
q 2 i + q2 r
(3.26)
Phase = arctan(qi/qr) (3.27)

Numerisches Verfahren 23
3.3 Direkte numerische Simulation (DNS)
Für die numerische Untersuchung der dreidimensionalen Scherschicht hinter der Platte, wurde NS3D,
ein Programm, das im IAG entwickelt wurde für direkte numerische Simulation, benutzt.
Direkte numerische Simulation bedeutet, dass die komplette kompressiblen dreidimensionalen Navier-
Stokes Gleichungen durch ein numerisches Verfahren höher Ordnung gelöst werden. NS3D kann für
sub- trans- und supersonische Störung eingesetzt werden. Die Berechnung werden auf Großrechnern
des Höchstleistungsrechnenzentrums der Universitäts Stuttgart (HLRS) durchgeführt.
Durch Einbringen von Instabilitäten in die schiebende Grenzschicht wird die Stabilität der Scher-
schicht untersucht. Die Störeinleitung erfolgt durch Eigenfunktionen aus der linearen Stabilitätstheo-
rie (Abschnitt 3.2).
3.3.1 Eingabedateien
In diesen Eingabedateien werden sowohl die benötigten Parameter für die Berechnung als auch die
Anfangsbedingungen und die Gebietkonfiguration eingegeben. Man könnte auch randbedingungs-
speziefischer Eingabedateien benötigen.
Inputfile
Das Inputfile ist eine normale Textdatei mit dem Namen ns3d.i und ist zwingend erforderlich um
das Programm auszuführen. Hier werden die Simulationsparameter eingegeben wie z.b Machzahl,
Reynoldszahl, Temperatur, Druck oder auch Basisfrequenz f0, Periode, erster zurechnender Zeitpunkt
ZP start und letzter zurechnender Zeitpunkt ZP end. Eine detaillierte Beschreibung der Inputfile
findet man in [2].
Aus der Basisfrequenz ist es möglich den Ausgabe-Zeitbereich zu bestimmen:
Der Zeitschritt ergibt sich aus:
∆t =
Toutput = 2π
2π
f0
f0 · ZSperiod
wo ZSperiod die Anzahl der Zeitschritten in den Ausgabe-Zeitbereich Toutput ist.
(3.28)
(3.29)
Bei der Wahl der Grundfrequenz und der Periode muß man darauf achten, daß der Zeitschritt kleiner
als der maximalen erlaubten Zeitschritt um ein stabiles numerisches Verfahren zu gewährleisten.
Grundströmung
Als Anfangsbedingung wird die dreidimensionale Grunströmung aus dem Programm Schearwake 3D
angenommen. Es muß für jedes Gebiet eine Grundströmungsdatei Baseflow in [n].eas vorliegen. Da

Numerisches Verfahren 24
hier nur 8 Gebiete gibt, wir brauchen also nur acht Grunströmungsdateien. Diese Dateien haben der
binär EAS3 Format.
Die eingelesenen Größen sind die 3 Geschwindigkeitskomponenten u, v und w , die Temperatur, der
Druck und die Dichte. Die Feldgröße des Grundströmungsfeldes muß (my x nx) sein.
Aus der EAS3 Datei werden verschiedene Parameter eingelesen wie Z.B Anfangskoordinate, Schritt-
weite, Wellenzahl α in x-Richtung. Damit werden durch das Inputfile definierte Werte überschrieben.
Restartfile
Wenn ZP Start>1; handelt es sich um eine Fortsetzungsrechnung. Restarfile werden dann nötig. Die
Dateinamen müssen die Bezeichnung restart in [n].eas und Feldgrösse die (my x nx) aufweisen.
Als Parameter werden die fünf konservativen Variablen (ρ, ρ·u, ρ·v, ρ·w, E) erwartet. Die Restartfile
sind die Ausgabedateien einer vorherige Rechnung.
Gebietkonfiguration
Die Gebietzerlegung in x- und y-Richtung erfolgt durch die Eingabe der Nachbarn jedes Teilgebietes
sowie die Randbedingungen. Das findet man in einer Textdatei mit der Name Gebiet.config. Sie wird
durch das Programm Shearwake 3D mit der Grunströmungsdateien erzeugt. Eine solche Datei findet
man in [2] sowie eine ausführliche Beschreibung der Implementierung der Gebietkonfiguration.
Die negativen Zahlen definieren die verschiedenen Randbedingungen, wie sie im Modul Randbedin-
gungen [2] implementiert sind. Die hier verwendeten Randbedingungen sind in nächster Abschnitt
definiert.
Randbedingungen
Die Wahl der Randbedingungen geschieht durch die Eingabe negativer ganzer Zahlen in der Ge-
bietkonfiguration. Die hier benutzten Randbedingungen sind feste Randbedingungen, das heißt die
Größen am Rand werden nur aus Werten zum selben Zeitpunkt berechnet.
Für die Gebiete unterhalb und oberhalb der ebenen Platte wird als Einstromrand links (-2) eingege-
ben. Es handelt sich um eine charakteristische subsoniche Einstromrand.
Um das Stabilitätsverhalten zu untersuchen, wird an der oberen Wand Störungen eingebracht. Hier-
zu werden zwei Dateien ( Eine Textdatei mit Störungsparameter und eine EAS3- Datei mit den
Eigenfunktionen) benötigt, deren Dateiname rb einstrom links 004.[typ] ist. Im Text Datei werden
sowohl die Anzahl der Störung als auch die Amplitude, der Querwellenfaktor und die Frequenz aus
der linearen Stabilittstheorie eingegeben. Hier muss die Frequenz ein vielfaches der Grundfrequenz
f0 aus ns3d.i sein, um die Fourieranalyse zu ermöglichen.
Im EAS3 Datei werden die Amplitude und der Phasenverlauf der einzelnen Eigenfunktionen der
einzelnen eigenwerte entnommen. Die Implementierung der Störung ist im nächsten Abschnitt de-

Numerisches Verfahren 25
tailliert.
An der Wand wird (-30) als Randbedingungen eingegeben d.h eine isotherme Wand.
Die Schwierigkeit bei aeroakustischen Berechnung liegt daran, daß die Amplituden des Schalls um
Großenordnungen kleiner sind als die Strömungsmechanischenschwankungen. Deshalb ist auf ent-
sprechende nicht reflektierende Randbedingungen zu achten. Deshalb wurde für alle Gebiete eine
eindimensionale charakteristische Freistromrand mit geringen Reflexion (-21) gewählt
Um zu vermeiden, daß große Strukturen durch den Ausstromrand durchgehen, wird in den Gebiete 3
und 7 eine Gitterstreckung in x-Richtung (Abschnitt 3.3.3) zusammengesetzt mit einem Tiefpassfilter
benutzt. Störungen werden immer schlechter aufgelöst während sie durch diese Region verbreiten. Bei
der Anwendung eines räumlichen Filters werden sie dissipiert bevor sie den Ausstromrand erreichen.
Dies geschieht über eine Textdatei mit der Namen rb ausstrom recht [gebiet].txt, wo Filterlänge und
Filterparameter eingegeben werden. Für die Gebiete 3 und 7 wird also als Ausstromrandbedingungen
(-14) eingegeben. Hier ist der Raumoperator am letzten Punkt gleich dem am Punkt davor.
Hier wird auch eine Dampfungszone definiert, die die Störungen auf die Grundströmung dämpft.
Dafür wird eine Eingabedatei benötigt, die die Dämpfungszonen definiert. Der Dateiname muß hier-
bei der Konvention rb freistrom char 1D[ort] [gebiet].txt folgen. Die eingegeben Dämpfungskonstante
definiert den Maximaleswert der Dämpfung σ in Gl. (3.32).
Die Dämpfung erfolgt durch das zusätzliche Einbringen eines Dämpfungsterms in die Zeitableitung
der konservativer Variablen gemäß:
Störeinleitung
wo
∂Φ
∂t
σ
σmax
mit y =
∂Φ
= − σ(y)(Φ − Φ0) (3.30)
∂t Navier−Stokes
= 6y 2 − 15y 4 + 10y 3
y
ymax
(3.31)
(3.32)
An der oberen Grenzschicht werden Störungen eingebracht. Dies geschieht durch das Aufaddieren
der Eigenfunktionen aus der linearen Stabilitätstheorie zu den ungestörten Strömungsgrössen.
q = q0 + q ′
Die Störungen der verschiedenen Strömungsgrößen ergeben sich aus:
(3.33)
q ′ = 2 · A · Ae · cos(φe + φ + j · γz − ωt) (3.34)
wo A die Amplitude, φ die Phase, j der Querwellenfaktor und ω die Frequenz aus der Datei
rb einstrom links 004.txt. Ae ist die Amplitude und φe die Phase aus der Eigenfunktion.

Numerisches Verfahren 26
3.3.2 Ausgabedatein
Folgende Dateien sind Standardmäßig als Ausgabedatein vorgesehen:
• Simulationübersicht: Das ist eine normale Textdatei, wo ein kurzer Überschicht über die
Parameter der Simulation. Es werden auch die dimensionsbehaftete Größen ausgegeben.
• Restarfile: Das ist eine EAS3 Datei, die die fünf konservativen variable (ρ, ρ · u, ρ · v, ρ · w,
E) am letzten Zeitpunkt ZP ende ausgibt wodurch Fortsetzungsrechnungen ermöglicht werden,
indem diese Datei bei einer neuem Rechnung als Eingabe Restartfile verwendet wird.
• Fourrierfile: Das ist eine EAS3 Datei mit dem Name � fou out [gebiet].eas. Sie enthält alle
primitiven Variablen (ρ, u, v, w, E, T) an ZS output Toutput = 2π
�
äquidistanten Zeitpunkten
f0
über den Zeitraum einer Periode der Frequenz f0, wobei der letzte Zeitpunkt am ZP end liegt.
Die Fourierfile ermöglichen die spätere Fourrieranalyse.
3.3.3 Gittertransformation
Die Berechnung der Strömung an beliebigen Geometrien erfolgt durch eine Transformation des phy-
sikalischen x-y-Gitters in ein äquidistantes ξ − η Rechengitter. Diese Transformation erfolgt in der
x-y Ebene, da die z-Koordinate bereits äquidistant ist:
x = x(ξ,η)
y = y(ξ,η) (3.35)
Für die Ableitungen im physikalischen Raum in Abhängigkeit von den Ableitungen im Rechnenraum
ergibt sich:
∂
∂x
∂
∂y
��
1 ∂
=
J ∂ξ
= 1
J
Wo J die Jacobi-Determinante bezeichnet:
�
�∂x
� ∂ξ J = �
�∂x
∂η
�� � � �� ��
∂y ∂ ∂y
−
∂η ∂η ∂ξ
�� �� � � �� ��
∂ ∂x ∂ ∂x
−
∂η ∂ξ ∂ξ ∂η
∂y
∂ξ
∂y
∂η
�
�
�
�
�
= ∂x
∂ξ
∂y ∂y ∂x
· − ·
∂η ∂ξ ∂η
(3.36)
(3.37)
(3.38)
Art der Gittertransformation wird aus der Kennsatz der Grundtrömungsdateien eingelesen. Jeder
Gittermodus entspricht eine Transformation.
Für die Gebiete 0,1,2,4,5 und 6 wurde das Gittermodus 2 eingegeben: Hier wird der Gitter nur in
y Richtung mit der Form η 3 gestreckt, so dass an η0 dy
dη
= 1 ist, d.h. das Original ∆y vorliegt. In

Numerisches Verfahren 27
x-Richtung gibt es keine Streckung.
x(i,j) = x0 + (j − 1) · ∆x (3.39)
y(i,j) = a3 · (η − η0) 3 + (η − η0) (3.40)
(3.41)
Hier ist ein erstrecktes Gitter in y-Richtung sehr wichtig, da sowohl die Geschwindigkeitsänderungen
als auch Druck- und Temperaturänderung nur in der Nähe von y = 0 stattfindet, sodaß ein feines
Gitter um y = 0 nötig ist.
∂x
= 1
∂ξ
;
∂y
= 0
∂ξ
;
∂x
= 0
∂η
(3.42)
∂x
∂η = 3a3 · (η − η0) 2 + 1 (3.43)
Die benötigten Gitterparameter aus der Grundströmung sind a3 und das Index der Nullstelle.
Für die Gebiete 3 und 7 wurde das Gittermodus 3 eingegeben. Hier wird das Gitter in beide Rich-
tungen x und y gestreckt (siehe Randbedingungen)
x = x0 + (j − 1) · ∆x + ∂xmax
∂ξ
1
σ log
�
e ((j−1)∆x−st) �
+ 1
(3.44)
y (i,j) = a3 · (η − η0) 3 + (η − η0) (3.45)
∂x
= 1
∂ξ
;
∂y
= 0
∂ξ
;
(3.46)
∂x
= 0
∂η
(3.47)
∂x
∂η = 3a3 · (η − η0) 2 + 1 (3.48)
Die hier benötigten Parameter aus der Grundströmung für das Gittermodus 3 sind:
• Beginn der dämpfungszone xp
• Ende der Dämfungszone xmax
• Verhältnis der Schrittweiten am Beginn der Dämfungszone -1: ∂x
∂ξ
• Verhältnis der Schrittweiten am Ende der Dämfungszone
• Vorfaktor für Term der Dritte Potenz: a3
• Integer der Nullstelle

Numerisches Verfahren 28
3.3.4 Verfahren
Hier wird nur ein kurzer Überblick über das verwendete Verfahren für die direkte numerische Simu-
lation der kompressiblen instationären Navier-Stokes Gleichungen gegeben. Die verwendeten Glei-
chungen sind im Anhang eingegeben.
Die Ableitungen in x und y Richtungen erfolgen durch kompakte finite Differenzen der Form:
1
5
∂Φ
�
�
· � +
∂x i−1 3 ∂Φ
�
�
· � +
5 ∂x i 1 ∂Φ
�
�
·
5 ∂x
� i+1
= 2 · Φi−2 − 9 · Φi−1 − 15 · Φi + 19 · Φi+1 + 3 · Φi+2
30∆x
2 · ∂2Φ ∂x2 �
�
� + 11 ·
i−1 ∂2Φ ∂x2 �
�
� + 2 ·
i ∂2Φ ∂x2 �
�
�
i+1
= 3 · Φi−2 + 48 · Φi−1 − 102 · Φi + 48 · Φi+1 + 3 · Φi+2
4∆x 2
(3.49)
(3.50)
An Nachbarpunkten der Ränder kommen schiefe kompakte Differenzen zur Anwendung (hier linker
Rand als Beispiel):
8
15
∂Φ
�
�
· � +
∂x i 6 ∂Φ
�
�
·
15 ∂x
� i+1
= −25 · Φi−1 − 104 · Φi + 114 · Φi+1 + 16 · Φi+2 − 1 · Φi+3
180∆x
2 · ∂2Φ ∂x2 �
�
� + 15 ·
i ∂2Φ ∂x2 �
�
�
i+1
(3.51)
= 79 · Φi−1 + 3126 · Φi − 6810 · Φi+1 + 3940 · Φi+2 − 345 · Φi+3 + 6 · Φi+4 + 4 · Φi+5
180∆x2 (3.52)
An den Randpunkten selbst werden die Ableitungen durch einseitige explizite Differenzen direkt
gebildet:
∂Φ
�
�
� =
∂x i −25 · Φi + 48 · Φi+1 − 36 · Φi+2 + 16 · Φi+3 − 3 · Φi+4
(3.53)
12∆x
�
�
� = 0 (3.54)
i
∂ 2 Φ
∂x 2
Die Lösung der aus den kompakten finiten Differenzen resultierenden Gleichungssystems erfolgt durch
den Thomas Algorithmus [2].
Die Raumableitungen in z-Richtung werden durch ein Spektralansatz berechnet:
f(x,y,z,t) =
K�
k=−K
Fk(x,y,t)e ikγz ; γ = 2π
Wo f die Strömungsvariable ist und Fk die Fourrierkoeffizienten.
λz
(3.55)
Für die Berechnung der z-Ableitungen werden zuerst die verschiedenen Variablen in Fourierraum
transformiert und danach wird für die 1.Ableitung das imaginäre Teil mit −(k · γ) und das reelle

Numerisches Verfahren 29
Teil mit (k · γ) multipliziert. Für die 2.Ableitung werden das imaginäre und reelle Teil mit −(k · γ) 2
multipliziert.
Im NS3D werden die instationären kompressiblen dreidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen in
konservativer Formulierung integriert. Es werden zuerst aus dieser Gleichungen die zeitliche Ableitung
der konservativen Variablen in abhängigkeit ihrer x, y und z-Ableitungen bestimmt.
∂Q
∂t
Die Vektoren Q, F, G und H sind aus dem Anhang zu nehmen.
∂G ∂H
= −∂F − − = 0 (3.56)
∂x ∂y ∂z
Die Zeitintegration erfolgt mit dem Standard Runge-Kutta Verfahren 4.ordnung
Q i+1
k
∗
2
Q i+1
2
k
Q i+1∗
k
Q i+1
k
= Q i k
= Q i k
= Q i k
= Q i k
+ 1
2 ∆tRi k,+/−
∗
2
k,−/+
1
+
2 ∆tRi+1
2 + ∆tRi+1 k,−/+
�
1
+ ∆t
6 Ri 1
k,+/− +
∗
2
k,−/+
3 Ri+1
1
+
3 Ri+1
2
k,+/−
1
+
6 Ri+1∗
�
k,−/+
(3.57)
Wobei abwechselnd bei jedem Runge-Kutte Teilschritt vorwärts-und rückwärtsgewichtete Differenzen
zum Einsatz kommen, deren Reihenfolge auch bei jedem neuen Zeitschritt wechselt.
3.4 Auswertung und Visualisierung
Die Ergebnisse aus der DNS Rechnung werden in EAS3-binärformat ausgegeben. Sie werden mithilfe
des EAS3/Shell-Skriptes Auswertung ausgewertet und mit TECPLOT visualisiert.
Zuerst werden die primitiven variablen aus fou out.00[n].eas extrahiert. Mithilfe diesen Variablen
wird eine Fourier Transformation durchgeführt. Dies ermöglicht das Beobachten des Wachstums der
Störungsamplitude der verschiedenen Strömungsgrößen entlang der Scherschicht.
Die Visualisierung der Wirkung der Störung im Nachlauf erfolgt durch das λ2-kriterium [8]. Für
das darzustellende Kriterium kommen hierzu nur die negativen zweiten Eigenwerte zur Verwendung.
Alle positiven Werte haben keine Relevanz. So können in der zweidimensionalen Visualisierung des
Strömungsfeldes bestimmte Skalenbereiche des λ2 farblich dargestellt werden, wäherenddessen in der
dreidimensionalen Visualisierung nur isofläche einer einzigen λ2-wertes sinnmachen. Je kleiner der
gewählte LAMBDA2-Wert ist, desto näher befindet sich man am Wirbelkern.
Für die zweidimensionale Visualisierung wird meistens die Wirbelstärken wz als Konturlinien darge-
stellt.

4 Ergebnisse
In diesem Kapitel werden die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit ausführlich vorgestellt und disku-
tiert. Zuerst wird das, zur Berechnung der Grundströmung verwendete Programm Shearwake 3D
validiert. Danach werden die Ergebnisse der Stabilittsuntersuchung sowohl der dreidimensionalen
Grenzschicht als auch der freien Scherschicht und der DNS Rechnung zusammengefasst und ausführ-
lich erläutert. Vorherige numerische Untersuchungen für den zweidimensionalen Fall wurden durch
Babucke und al [3] durchgeführt.
4.1 Validierung des Programms Shearwake 3D
Verschiedene Modifikationen wurden am Originalprogramm Shearwake 2D durchgeführt um daraus
ein neues Programm für die Berechnung der dreidimensionalen Grundströmung zu bekommen. Das
neue Programm wurde deshalb durch den Vergleich der dreidimensionalen Grenzschicht aus Shear-
wake 3D mit den Ergebnissen aus der DNS Berechnung ohne eingebrachte Störung validiert um zu
entscheiden, ob die getroffene Annahme für die Bestimmung der dreidimensionalen Grenzschicht zu-
treffend ist.
Zuerst werden die Ergebnisse des Programms Schearwake 2D mit den aus dem dreidimensionalen
Programms aber für φ1 = φ2 = 0 d.h. für parallele Einstromgeschwindigkeiten ohne Komponente
in Spannweiterichtung verglichen . Als erste Überlegung bei der Transformation des Programms,
müssen wir darauf achten, daß die zweidimensionale Grundströmung aus dem neuen Programm der
Grundströmung des alten entspricht. Außerdem werden die Ergebnisse aus der DNS Berechnung für
die beiden Grundströmungen untersucht.
4.1.1 Programm Validierung 2D
Der erste Validierungsfall ist die zweidimensionale Grenzschicht.
Die Parameter der Grundströmung und die Gitter Auflösung sind in Tabelle (4.1) aufgelistet. Als Re-
ferenzgeschwindigkeit wird die freie Strömungsgeschwindigkeit der oberen Grenzschicht U01 gewählt.
Die Referenzlänge ist:
L0 = Reµ
ρU01
x0 wird so gewählt, daß die dimensionslose Verdrängungsdicke der Grenzschicht an dieser Stelle 1
30
(4.1)

Ergebnisse 31
Abb. 4.1: Vergleich zwischen den Geschwindigkeitsprofile in Stromrichtung an der oberen und unteren
Grenzschichten an der Stelle x=-82,5 aus der DNS Rechnung für Shearwake 2D und 3D mit φ = 0
wird. Damit werden alle Längen mit δ1 dimensionslos gemacht. Als Auflösung werden hier 650 x
425 Punkte pro Gebiet gewählt. Beide zweidimensionale Grundströmungen werden in NS3D als
Anfangsbedingungen eingegeben. Die Ergebnisse der beiden DNS Rechnungen werden miteinander
verglichen. Dies zeigt Abb. (4.2). Die beiden Kurven liegen übereinander und weisen keine Diskrepenz
an allen x-stellen.
Die Parameter für das Programm NS3D werden in Tabelle 4.2 aufgestellt. Hier wird für 200000 Zeit-
schritte gerechnet. Das entspricht eine Durchflusszeit von 5233 oder ein Duchflusslänge von 52,33
mal der Plattenlänge.
In Abb. (4.2) werden die Grundströmungen der Programme Shearwake 2D und 3D mit den Ergebnis-
sen aus der DNS Berechnung Verglichen. Die Kurven Zeigen dieselbe Tendenz aber mit einer kleinen
Diskrepanz für größere x-Stellen. Dies ist auf die initialen Störungen zurück zuführen.
4.1.2 Programm Validierung 3D
Der zweite Validierungsfall ist die dreidimensionale kompressible Grenzschicht. Hier zeigen die freien
Strömungsgeschwindigkeiten der oberen und der unteren Gebiete in verschiedenen Richtungen, wie
es in Abb. (4.3) zu sehen ist. Die Parameter der Grundströmung sind in Tabelle 4.3 aufgestellt. Die
Grundströmung wird mit der DNS Rechnung verglichen um zu überprüfen ob die getroffene Annah-
me im Abschnitt 3.1.1 für die Berechnung einer dreidimensionalen Grenzschicht berechtigt ist. Eine
dreidimensionale Grundströmung wird erzeugt hier durch die Eingabe im input-Datei Shearwake.i
des Winkels φ1 = 0,8 für die obere Grenzschicht. Die untere Grenzschicht bleibt hier zweidimensio-
nal.
Bei der DNS Rechnung wird für die Validierung der durchgefürten Transformationen keine Störungen

Ergebnisse 32
Parameter Werte
U1/U2 [-] 0,25
my [-] 425
nx [-] 650
∆x [-] 0,15
dy [-] 0,15
Re [-] 1000
Ma1 [-] 0,8
Ma2 [-] 0,2
T∞ [K] 280
x0 [-] 285
TWand [K] 296
U01 [m/s] 268,388
φ1 [rad] 0
φ2 [rad] 0
Tab. 4.1: Parameter der Grundströmung
Parameter Werte
∆x [-] 0,15
γ [-] 0,8
ω0 [-] 0,06
dy [-] 0,15
Re [-] 1000
Pr [-] 0,71
ZSperiod [-] 4000
ZSout [-] 10
ZPstart [-] 1
ZPende [-] 200000
Tab. 4.2: Parameter NS3D

Ergebnisse 33
y
10
5
0
-5
-10
Grenzschichtlösung
DNS
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
u
(a) Shearwake 2D
y
10
5
0
-5
-10
Grenzschichtlösung
DNS
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
u
(b) Shearwake 3D
Abb. 4.2: Vergleich zwischen Geschwindigkeitsprofil aus der Grenzschichtslösung und der DNS Berechnung
am Ende der Ebenen Platte x=-0,15
Ebene Paltte
z
U 2
φ 1
Abb. 4.3: 3D Grundströmungskonfiguration
U 1
x

Ergebnisse 34
y
10
5
0
-5
-10
Grenzschichtlösung
DNS
0 0.2 0.4 0.6
u
(a) x=-82,5
Parameter Werte
U1/U2 [-] 0,25
my [-] 425
nx [-] 650
α [-] 0,83
nwel [-] 50
dy [-] 0,15
Re [-] 1435
Pr [-] 0,71
p∞ [bar] 1
Ma1 [-] 0,8
Ma2 [-] 0,2
T∞ [K] 280
x0 [-] 405
TWand [K] 296
Uref [m/s] 268,388
φ1 [rad] 0,8
φ2 [rad] 0
Tab. 4.3: Parameter der Grundströmung 3D
y
10
5
0
-5
-10
Grenzschichtlösung
DNS
0 0.2 0.4 0.6
u
(b) Ende der ebenen Platte x=-0,15
Abb. 4.4: Vergleich zwischen Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschchicht aus Der Grenzschichtslösung
in Shearwake 3D für φ = 0,8 und der DNS Berechnung an verschiedenen Stellen
auf der Ebenen Platte.

Ergebnisse 35
eingebracht.
Für das Programm NS3D wurden dieselben Parameter benutzt wie im zweidimensionalen Fall.
In Abb. (4.4) wird das Geschwindigkeitsprofil in Stromrichtung der dreidimensionalen Grund-
strömung aus Shearwake 3D mit dem Geschwindigkeitsprofil aus der DNS Rechnung für zwei ver-
schiedene x-Stellen x = −97,5 und x = −0,15 verglichen. Die Kurven zeigen dieselbe Tendenz aber
mit einer kleinen Diskrepanz wie im zweidimensionalen Fall besonders für x = −0,15. Dieses ist zum
Konvergenzverhalten des numerischen Verfahrens zurückzuführen.
4.2 Stabilitätsuntersuchung
Die Stabilitätsuntersuchung erfolgt mithilfe der linearen Stabilitätstheorie. Das Programm LINSTAB
wurde hier benutzt um Störungen in die Grundströmung einzubringen aber auch um die Stabilität
des Stömungsfelds zu analysieren. Wird das zeitliche Problem gelöst, bekommt man 2 unterschied-
liche Eigenwertspektren für die Grenzschicht und die Scherschicht (Abb. (4.5)). Hier wird nur die
obere Grenzschicht analysiert. Die untere Grenzschicht ist stabil bis zum Plattenende.
Wenn es eine Anfachung gibt besteht das Eigenwert-Spektrum der Grenzschicht aus einem kontinu-
ierlichen Eigenwertspektrum und einer physikalischen Lösung im angefachten Bereich. (der gesuchte
Eigenwert)
In dem Eigenwertspektrum der Scherschicht einer subsonischen Strömung ist außer die Eigenwerten
der zwei kontinuierlichen Spektren eine physikalische Lösung im angefachten Bereich sichtbar.
Es besteht ein eindeutiger Zusammenhang zwischen der Phasengeschwindigkeit cph, der Wellenzahl
in Stromrichtung α, der Wellenzahl in Spannweiterichtung γ und der Kreisfrequenz ω [10]:
cph =
ω
� α 2 + γ 2
Die zu den Eigenwerten (Abb. 4.5) zugehörigen Amplitudenverläufe der jeweiligen Eigenfunktionen
für die Geschwindigkeit in Stromrichtung sind in Abb.(4.6) zu sehen. Die größten Amplituden sind
innerhalb der Grenzschicht und der Scherschicht zu finden. Diese verschwindet für große y-Werte.
Für die Stabilitätsuntersuchnung wurden folgende Parameter für die zwei- und dreidimensionale
Grundströmung benutzt. Die fehlenden Parameter sind aus der Tabelle(4.3) zu entnehmen.
Parameter Werte
U1/U2 [-] 0,25
Re [-] 1435
Ma1 [-] 0,8
Ma2 [-] 0,2
x0oben [-] 405
x0unten [-] 115
Tab. 4.4: Wichtigste Parameter der Grundstömung
(4.2)

Ergebnisse 36
ω i
u
0.005
0
-0.005
-0.01
1
0.8
0.6
0.4
0.2
EW
ω r
0 0.2 0.4
(a) Grenzschicht x=-97,5
ω i
0.04
0.02
0
EW
ω r
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
(b) Scherschicht x=15
Abb. 4.5: Spektrum der Zeitliche Lösung bei α = 0,12 und γ = 0,12
0
0 5 10
y
(a) Grenzschicht x=-97,5
u
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-5 0 5
y
(b) Scherschicht x=15
Abb. 4.6: Verlauf der Störamplitude von u für α = 0,12 und γ = 0,12
4.2.1 Stabilität der 3D- Grundströmung
Um eine dreidimensionale Grundströmung zu erzeugen wurde der Winkel φ1 = 0,8 im Programm
Shearwake 3D eingegeben. Die Stabilitätsuntersuchung der daraus resultierenden Grunströmung er-
folgt mithilfe der linearen Stabilitätstheorie.
Beim Variieren von αr mit konstant gehaltenen γr erhält man den zeitlichen Anfachungsverlauf über
der Kreisfrequenz ωr aufgetragen. Dies wurde für verschiedene x-Stellen in der Grenzschicht und in
der Scherschicht wiederholt.

Ergebnisse 37
ω i
0.002
0.001
0
-0.001
ω 0 = 0.0601449
ω r
0.04 0.06 0.08
(a) Grenzschicht
x=-97.5
x=-82,65
x=-67,65
x=-52,65
x=-30,15
x=-7,65
ω i
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
ω 0 = 0.0601449
-0.01
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
ω r
(b) Scherschicht
Abb. 4.7: Verlauf der zeitlischen Anfachung ωi für γr = 0,12
x=14,85
x=29,85
x=52,35
x=74,85
x=97,35
In der Grenzschicht nimmt die maximale zeitliche Anfachungsrate ωi mit zunehmenden x ab. Außer-
dem wandert die dazugehörige Frequenz ωr nach links wie dies in Abbildung (4.7)(a) zu sehen ist.
Als Fundamentalfrequenz wird ω0 = 0.0601449 für die obere Grenzschicht gewählt. Diese entspricht
der Frequenz, bei der, am Einstromrand die zeitliche Anfachung ωi maximal wird.
Die Stabilitätsuntersuchung der Scherschicht hinter der ebenen Platte zeigt, daß diese instabiler als
die Grenzschicht ist. In der Tat ist die zeitliche Anfachung 200 mal größer als in der oberen Grenz-
schicht . Dieses Verhalten ist auf dem Wendepunkt im Geschwindigkeitsprofil zurückzuführen. Die
maximale Verstärkung in der Scherschicht liegt bei einer Frequenz, die 3 oder 4 mal größer als die
Fundamentalfrequenz ω0 der Grenzschicht ist .Dies ist in Abbildung (4.7) zu sehen. Wenn x zu nimmt,
nimmt ωi in der Scherschicht auch ab. ωr wird kleiner wie in der Grenzschicht.
4.2.2 Einfluß der Querwellenzahl
Für die beiden Diagramme in der Abb. (4.7) wurde γr = 0,12 als Querwellenzahl gewählt, d.h.
es wurde hier das Stabilitätsverhalten der Grenzschicht und der Scherschicht bei schräg laufenden
Störwellen Untersucht. Der Grund dafür ist, die hier vorliegende dreidimensionale Grenzschicht. In
der Tat, bei einer dreidimensionalen Grenzschicht sind dreidimensionale Störungen am stärksten an-
gefacht [10]. Dies wird anhand der Abb.(4.8) verständlich.
Bei dreidimensionalen Störungen ist die dreidimensionale Grenzschicht für einen größeren Frequenz-
bereich instabiler als bei zweidimensionale Störung. Die zeitliche Anfachung nimmt mit zuneh-
mender Wellenzahl in Spannweiterichtung zu. Die am stärksten angefachte Störung liegt hier bei
ω0 = 0.0601449 und γr = 0,12 was einer Wellenzahl in Stromrichtung αr = 0,12 entspricht. Die

Ergebnisse 38
ω i
0.002
0.001
0
-0.001
-0.002
-0.003
ω r
0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
γ=0
γ=0,04
γ=0,08
γ=0,12
γ=0,16
γ=0,2
Abb. 4.8: Verlauf der Zeitliche Anfachung ωi in der Grenzschicht in x=-97,5 für verschiedene γr
Wellenausbreitungsrichtung ist also um den Winkel
� �
γr
β = arctan ≈ 0,8 (4.3)
αr
gegen die x-Richtung geneigt. Dieser Winkel entspricht dem Winkel φ1, dem Winkel zwischen der
Grundströmungsgeschwindigkeitsvektor und der x- Achse, d.h. in Richtung der Potential Strmung.
Dies wird im Abschnitt 4.2.3 nochmal behandelt. Für γr größer als 0,12 nimmt die maximale
Anfachung wieder ab.
γr ωr ωi
0 0,05063338 0,00183938
0,04 0,0550376 0,00222805
0,08 0,060025 0.0245991
0,12 0,0601449 0,00254968
0,16 0,0608873 0,00247411
0,2 0,062516 0,00212601
Tab. 4.5: Maximale Anfachung ωi für verschiedene γr am Einstromrand der Grenzschicht
In der Tabelle (4.5) sind die Wellenzahl in Spannweite-Richtung sowie die Frequenz, bei der die ma-
ximale Anfachung ωi in der Grenzschicht an der Stelle x=-97,5 stattfindet eingegeben.
Anhand dieser Tabelle ist zu sehen, daß ωr zunimmt, wenn γr zunimmt auch für γr > 0,12.
In Abb.(4.9) sind die Richtungen dieser Störwellen abgebildet. Die am stärksten angefachte Welle,
nämlich für γr = 0,12, zeigt in derselben Richtung wie der Grundströmungsvektor � U1.
Der Amplitudenverlauf der Störungen für verschiedene γr und jeweils für die am stärksten angefach-

Ergebnisse 39
Ebene Paltte
z
0,2
0,16
0,12
Abb. 4.9: Ausbreitungsrichtung der maximalen angefachten Wellen am Einstromrand für verschiedene
γr
u
ρ
0.8
0.6
0.4
0.2
0.4
0.3
0.2
0.1
1
y
0 2 4 6 8 10
0
0 2 4 6 8 10
y
v
T
0.4
0.2
y
0,08
U 1
0,04
γ=0
γ=0
γ=0,08
γ=0,12
γ=0.2
0
0 2 4 6 8 10
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 2 4 6 8 10
y
x
w
p
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 2 4 6 8 10
0
0 2 4 6 8 10
Abb. 4.10: Eigenfunktionen der verschiedenen Strömungsgrößen am Einstromrand für verschiedene
Querwellenzahlen γr
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
y
y

Ergebnisse 40
ten Frequenz ωr aus der Tabelle (4.5) sind in den Abb. (4.10) zu sehen. Die Amplituden für die
verschiedenen γr werden jeweils mit umax normiert. Bei dem Amplitudenverlauf des Drucks p, der
Geschwindigkeitskomponente v und der Dichte ρ sind die maximalen Amplituden bei der Wellenzahl
γr = 0,12 zu finden, was die vorherigen Ergebnisse bestätigtigt.
Bei der Temperatur T ist die maximale amplitude bei zweidimensionalen Strwellen zu finden.
Der Amplitudenverlauf der Geschwindigkeistkomponenten in Strom- und Spannweiterichtung u und
w kann man in 2 gebiete Teilen: y ∈ [0,2.3] und y ∈ [2.3, ∞].(y=2,7 ist die Grenzschichtdicke an der
Stelle x=-97,5)
In dem ersten Gebiet sind sowohl Geschwindigkeitsgradient als auch Störamplitude am größten. Die
maximale Störamplitude hängt hier nicht von γr ab.
Bei der Geschwindigkeit in z-Richtung w nimmt die maximale Amplitude mit zunehmender Quer-
wellenzahl.
In dem zweiten Gebiet hingegen verschwindet der Geschwindigkeitsgradient. Die Störungsamplituden
sind auch hier klein und verschwinden für größere y. Für beide Geschwindigkeiten ist die maximale
Amplitude bei γr = 0,12 zu finden.
4.2.3 Einfluß des Winkels φ1
Um den Einfluß des Schiebewinkels φ1 bzw. der Geschwindigkeitskomponente in der Spannweiterich-
tung auf das Stabilitätsverhalten der Grenzschicht und der Scherschicht, wurde eine Untersuchung
mithilfe des Programms LINSTAB und für verschiedenen Schiebewinkeln φ1 durchgeführt.
Um das Stabilitätsverhalten der verschiedenen Grundströmungen vergleichen zu können, muss man
zuerst die Querwellenzahl γr, bei der, die größte Anfachung für jedes Winkel stattfindet bestimmen
wie das im Abschnitt (4.2) für φ1 = 0,8 gemacht wurde.
Die verschiedenen Wellenzahlen γr, die Frequenzen ω0, wo die Anfachung maximal ist sowie die ma-
ximalen Anfachungen in der Grenzschicht an der Stelle x=-97,5 für verschiedene Winkel sind in der
Tabelle (4.6) eingetragen.
φ1 γr ωr ωi
0 0 0,0817086 0,0310933
0,2 0,043 0,0791836 0,00307276
0,4 0,08 0,075613 0,00297437
0,6 0,107 0,0697444 0,00280335
0,8 0,12 0,0601449 0,00254968
Tab. 4.6: Maximale Anfachung ωi für verschiedene Schiebewinkel φ1 der oberen Grenzschicht
Der Winkel φ1 = 0 entspricht einer zweidimensionalen Grundströmung. Hier sind zweidimensionale
Störungen am stärksten angefacht. Bei dreidimensionalen Grundströmungen sind hingegen die drei-
dimensionalen Störungen am stärksten angefacht (Abschnitt (4.2.2)). Aus der Tabelle sieht man, daß

Ergebnisse 41
ω i max
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0.7 0.8 0.9 1
cos(φ ) 1
Grenzschicht
Scherschicht
Abb. 4.11: Zusammenhang zwischen cos(φ1) und ωimax
die Wellenzahl γr, für die ωi maximal wird, mit zunehmendem Winkel zunimmt.
Es besteht eine lineare Zusammenhang zwischen ωi max und cosφ1 (Abb. (4.11)):
ωi max = a · cos(φ1) + b (4.4)
mit a = 0,0018 und b=0,0013 in der Grenzschicht und a=0,06 und b=0,018 in der Scherschicht.
Die am stärksten angefachte Störwelle breitet sich in derselben Richtung wie der Geschwindigkeitsvek-
tor der Grundströmung aus. Jürgens [10] hat gezeigt, daß die Ausbreitungsrichtung, der am stärksten
angefachten Welle sich zu:
ergibt.
�
α2 imax
β = φ1 + arctan
α2 �
tan φ1
rmax
Dabei ist φ1 der Winkel zwischen der Geschwindigkeitsvektor U1 und der x-Achse. Bei zweidimen-
sionalen Grenzschichten ist αimax
αrmax
(4.5)
0) bei zweidimensionalen
Strömung am größten und nimmt für größerer Winkel ab.
(4.6)

Ergebnisse 42
ω i
0.003
0.002
0.001
0
-0.001
-0.002
-0.003
ω i
0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
(a) Grenzschicht
φ 1 =0
φ 1 =0,2
φ 1 =0,4
φ 1 =0,6
φ 1 =0,8
ω i
0.08
0.06
0.04
0.02
0
ω r
0.1 0.2 0.3 0.4
(b) Scherschicht
Abb. 4.12: Verlauf der zeitlischen Anfachung ωi für verschiedene φ1
φ 1 =0
φ 1 =0,2
φ 1 =0,4
φ 1 =0,6
φ 1 =0,8
Aus dieser Betrachtungen folgt, dass die Geschwindigkeitskomponente in z- Richtung eine stabilisie-
rende Wirkung sowohl in der Grenzschicht als auch in der Scherschicht hat.
Je größer φ1 bzw w
u
sind desto stabiler wird die Grundströmung.
4.3 Ergebnisse der DNS Rechnung
Die Auswirkung einer dreidimensionalen periodischen Störung in der dreidimensionalen freien Scher-
schicht wird mithilfe des DNS Codes NS3D untersucht.
Durch die Instabilität werden die eingebrachten Störungen exponentiell angefacht, weswegen ein ge-
ringer Energieeintrag in die Strömung genügt, um großräumige Wirbel hervorzurufen.
Im laminaren Fall wurde mittels der LST (Abschnitt 4.2 ) die Entwicklung der eingebrachten Störun-
gen zumindest im anfänglichen Stadium verhältnismäßig einfach bestimmt.
Die Grundströmung wird an der oberen Grenzschicht mit einer 3D Störwelle mit der Fundamental-
frequenz ω0 = 0,0601449, der Querwellenzahl γ = 0,12 und der Amplitude u ′ max = 5 · 10−4 gestört.
Die Phasenverschiebung ∆Θ ist hier 0, da bei einer Störung es kaum Phasenversatz gibt.
Hier wird darauf geachtet, daß die Querwellenzahl ein Vielfaches der Querwellenzahl aus der Setup-
Datei ns3d.i ist.
γ = 2π
λz
In dieser Berechnung ist γStörung
γ = 1.
Die Störeinleitung erfolgt durch Eigenfunktionen aus der linearen Stabilitätstheorie.
Die benutzten Parameter in NS3D sind in der Tabelle (4.7) gelistet.
(4.7)

Ergebnisse 43
Parameter Werte
α [-] 0,83
nwel [-] 50
γ [-] 0,12
f0 [Hz] 0,0601449
dy [-] 0,15
Spanwise modes [-] 42
Re [-] 1435
ZSperiod [-] 5000
Zeitschritte [-] 95000
Tab. 4.7: Parameter NS3D
Um den Einfluß der eingebrachten Störung zu untersuchen, wird zuerst eine DNS Rechnung ohne
eingebrachte Störungen durchgeführt, die später als Referenz dienen wird.
Bei der störfreien Rechnung, bilden sich hinter der ebenen Platte kohärenten Wirbelstrukturen. Die-
se sind auf den Wendepunkt in der Geschwindigkeitsprofil sowie zu den initialen Störungen zurück-
zuführen.
Der Wirbelstärkevektor ergibt sich aus:
⎛
⎜
�ω = ⎝
ωx
ωy
ωz
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ = ⎝
∂w ∂v
∂y − ∂z
∂u ∂w
∂z − ∂x
∂v ∂u
∂x − ∂y
⎞
⎟
⎠ (4.8)
Die Abb.(4.13) zeigt die Momentaneaufnahme der spannweitigen Wirbelstärke ωz als Konturlinien
für die Ebene z = 0. Die Kontur-Level reichen von -0,3 bis 0,1 mit einem Schrittweite von 0,04.
Die Wirbel beeinflussen sich gegenseitig und verschmelzen stromabwärts zu größeren Wirbel,
wodurch wird die Vermischung in der Scherschicht gesteigert. Die erste Wirbelpaarung findet für
80 < x < 120 statt. Stromabwärts entwickeln sich die Wirbel weiter. Bei x ≈ 200 verschmelzen die
Wirbel ein zweites Mal und bilden größere Wirbel. Diese Große Strukturen werden Stromabwärts in
der Dampfungszone dissipiert um Reflexionen zu vermeiden.
Bei der störungsfreien Rechnung bleibt das Strömungsfeld zweidimensional wegen des Spektralan-
satzes, d.h. alle primitiven Variblen sind unabhängig von z. Deshalb ist der Wirbelstärkevektor
konstant über die Spannweite.
Die spannweitige Wirbelstärke bei einer gestörten Scherschicht ist in Abb.(4.14) zu sehen. Die
Kontur-Level reichen von -0,35 bis 0,05 mit einem Schritt von 0,1.
Im Allgemein wird hier bei angeregten Scherschichten eine erhörte Wachstumsrate der Schichtdicke
beobachtet.
Unmittelbar hinter der ebenen Platte sind die Strömungsfelder für eine gestörte und eine ungestörte
Scherschicht fast ähnlich: Die Scherschicht rollt zur Wirbel mit dem fundamentalen Mode auf und
ist voll entwickelt für x ≈ 50 bei der beeinflussten Scherschicht. Die erste Wirbelpaarung findet auch

Ergebnisse 44
y
y
20
10
0
-10
-20
20
0
-20
50 100 150 200
x
Abb. 4.13: Spannweitige Wirbelstärke bei 3D- störungsfreie Rechnung
50 100 150 200
x
Abb. 4.14: Spannweitige Wirbelstärke bei dreidimensionaler beeinflußter Scherschicht
hier für 60 < x < 80 statt.
Stromabwärts unterscheidet sich das Strömungsfeld vom Feld der ungestörten Scherschicht.
Im Gegensatz zu dem ungestörten Fall, findet im Falle einer Störung durch eine dreidimensionale
Störwelle keine zweite Wirbelverschmelzung statt. Stattdessen brechen die Wirbel zu kleineren
Strukturen auf.
Um einen Einblick in die strömungsmeschanischen Mechanismen zu erhalten, werden die dreidi-
mensionalen Wirbelstrukturen hier mittels isoflächen des λ2-Kriteriums visualisiert. Durch das
Einbringen von einer instationären spannweitigen Störung werden Längswirbel erzeugt, die zum
Zusammenbrechen der Kelvin-Helmholz-Wirbel führen.
Wie dies in Abb.(4.15) abgebildet ist, sind die großen Wirbelstrukturen nicht mehr parallel zu
z-Achse. Sie werden durch die dreidimensionale Störwelle geneigt. Stromabwärts, ab x ≈ 80 bilden
sich ungeordnete, um die y-achse angesammelte kleine Wirbelstrukturen.

Ergebnisse 45
(a) Lambda2 = -0,005
(b) Lambda2 = -0,01
Abb. 4.15: 3D-Ansicht der isoflächen λ2

Ergebnisse 46
Abb. 4.16: Momentane Aufnahme der Wirbelstärke in Stromrichtung Dargestellt als isoflächen: -0,15;
-0,2
Die Abb.(4.16) zeigt die Wirbelstärke in x-Richtung. Hier sind auch kleine Wirbel Strukturen zu
sehen.
Da beim räumlichen Modell der zeitliche Verlauf nach genügend gerechneten Zeitschritten periodisch
oder zumindest quasi-periodisch ist, bietet es sich an, die Daten mittels Fourieranalyse zu unter-
suchen. Dabei wird bei periodischen Randbedingungen in Spannweitenrichtung häufig eine doppel-
spektrale Analyse durchgefhrt. Die resultierenden Moden werden mit (h,k) bezeichnet, wobei h ein
Vielfaches der Grundfrequenz und k ein vielfaches der spannweitigen Grundwellenzahl
γ = 2π
λz
ist, welche sich aus der spannweitigen Ausdehnung λz des Integrationsgebiets ergibt.
Hier wird die Strömung mit den instationären Mode (1,1) gestört. D.h. die Frequenz der Strörwel-
le ist die Grundfrequenz ω0 = 0,0601449 und ihre Querwellenzahl entspricht der Grundwellenzahl
γ = 0,12.
Die Maximale Amplitude der Geschwindigkeitskomponente u ist in Abb.(4.17) zu sehen. Hier wird
(4.9)

Ergebnisse 47
u-Amplitude
10 -1
10 -2
10 -3
10 -4
10 -5
10 -6
10 -7
-50 0 50 100 150
x
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(0,2)
(0,4)
Abb. 4.17: Maximale Amplitude der Geschwindigkeitskomponente in Stromrichtung
die Fundamentalfrequenz und ihre erste 3 Höherharmonischen Abgebildet.
In der oberen Grenzschicht verhält sich die fundamentale Störung (1,1) gemäß der LST. In der Tat
steigt die Amplitude der instationären Mode exponentiell an.
In der Nähe des Endes der ebenen Platte (−20 < x < 10) weicht die Wachstumsrate von den Er-
gebnissen der LST. Die Amplitude der Strung nimmt aufgrund der Unstetigkeit in der Geometrie in
x = 0 ein Wenig ab.
Hinter der ebenen Platte, in der Scherschicht steigt die Amplitude weiter aber mit einer größeren
Wachstumrate was auch mit der LST in übereinstimmung ist. Die Wachstumsrate der ersten 3 Höher-
harmonischen (2,1), (3,1) und (4,1) nähernsich der der Fundamentalfrequenz an. Dies zeigt, daß sie
durch die Grundströmung erzeugt sindAufgrund der zugenommen Amplituden der verschiedenen
Frequenzen, werden Moden, die ursprünglich stabil sind, verstärkt verursacht durch die nicht-lineare
Interaktion der instabilen Moden.
Die Sättigung der zweiten Höherharmonische (3,1) findet bei x ≈ 60 statt. An dieser Stelle rollt die
Scherschicht auf und der erste Wirbel wird erzeugt. Stromabwärts werden auch die anderen Harmo-
nischen gesättigt.
Der abgestrahlten Schall kann durch die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes auch Dilatation ge-
nannt, dargestellt werden. Die Abb.(4.18) zeigt die Dilataion für z=0 im Falle einer Störfreien und
einer beeinflußten Scherschicht. Die Kontur-Level reichen von -0,00004 bis 0,00004.
Im ersten Fall existiert eine Schallquelle bei x ≈ 200 genau dort wo die Wirbel verschmelzen.
In der beinflußten Scherschicht reduziert sich die intensität der Quelle, die sich hier stromaufwärts
im Vergleich zum vorherigen Fall bei x ≈ 100 befindet.

Ergebnisse 48
(a) Störungsfreie Scherschicht.
(b) Beeinflußte Scherschicht
Abb. 4.18: Dilatation

5 Zusammenfassung
Dreidimensionale Strömung an einem Düsenende wurde mithilfe der DNS untersucht. Die meisten
früheren Forschungen beschränkten sich auf zweidimensionale Strömungen.
Die Anfangsbedingung sind hier eine dreidimensionale Grenzschicht oberhalb und eine zweidimensio-
nale Grenzschicht unterhalb einer ebenen Platte, die das Düsenende modelliert. Durch die Interakti-
on zwischen den beiden Grenzschichten hinter der Platte entwickelt sich eine Kombination aus freier
Scherschicht und Nachlauf. Aufgrund von Wendepunkten im Geschwindigkeitsprofil, führen kleine
Störungen zur Entwicklung Wirbelstrukturen in der Scherschicht.
Die dreidimensionale Anfangsbedingung wurde erzeugt, indem man das zweidimensionalen Grenz-
schichtsprofil der oberen Grenzschicht um die y-Achse mit dem Winkel φ1 = 0,8 drehte. Diese
getroffene Annahme für die Erzeugung einer schiebenden Plattengrenzschicht wurde bestätigt durch
den Vergleich der obengenannten einfachen Grenzschichtlösung und der Navier-Stockes Lösung aus
dem DNS Code.
Durch die Stabilitätsuntersuchung mithilfe der LST wurde festgestellt, dass bei dreidimensionalen
Grenzschichten, die am stärksten angefachten Störwellen in der selben Richtung wie die Potential-
strömung sich ausbreiten. Außerdem sind dreidimensioanle Strömungen stabiler als zweidimensinale
strömungen. Die zeitliche Anfachungsrate nimmt mit zunehmendem Schiebewinkel ab. Die Abnahme
verläuft linear mit der Kosinus des Winkels φ1 sowohl in der Grenzschicht als auch in der Scher-
schicht.
Aufgrund des Wendepunkts werden dreidimensionale kleine Störungen in der Scherschchit stärker
angefacht als in der Grenzschicht.
Durch diese dreidimensionale Störwellen werden große Wirbelstrukturen um die y-Achse mit dem
Ausbreitungswinkel gedreht und sind nicht mehr gleichmässig entlang der z-Achse. Außerdem erzeu-
gen sie Längswirbel, die zum Zusammenbrechen stromabwärts der Kelvin-Helmholz-Wirbel führen.
Die Amplitude diese Störwellen wächst gemäß der linearen Stabilitätstheorie zuerst exponentiell.
Wenn die Störungen gesättigt werden, rollt die Scherschicht auf. Stromabwärts findet die erste Wir-
belpaarung statt. Aufgrund der größen Anfachungsraten im Nachlauf hinter der ebenen Platte nimmt
die Amplitude der Störungen zu, was zu nichtlinearität führt, die ein großes Spektrum von Störungen
erzeugt. Damit wird das Strömungsfeld nicht mehr vorhersagbar wie dies der Fall bei der störfreien
Strömung.
Aus diesem Grund ist der abgestrahlte Schall nicht mehr tonal sondern breitbandig.
Noch zu untersuchen sind andere dreidimensinale Strömungskonfigurationen. Es könnte auch der
Einfluß des Machzahlverhältniss auf das Stabilitätsverhalten der Scherschicht untersucht werden.
49

Zusammenfassung 50
Des weiteren könnte die Störamplitude verändert werden Aufschluß darüber geben, inwiefern die
Amplitude eine Rolle spielt. Es könnte damit auch nicht-lineare Effekte besser verstanden werden.

Literaturverzeichnis
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51

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