Lectures on String Theory

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M
Tangent plane at a point x
Fig. 9. Vielbien e a α is a collection of d orthogonal vectors forming a basis
of the tangent space at any point x on the d-dimenional manifold. In string
theory M with d = 2 is the string world-sheet and x ≡ (σ, τ).
On the other hand, spinors are objects which transform under the spinor representations
of the Lorentz group. The Lorentz group in d-dimensions is SO(d − 1, 1)
and it is not GL(d, R). At each point of the manifold there is an inertial frame. In
this inertial frame the Lorentz transformations are well defined. One can think that
the Lorentz transformations act in the flat Minkowski space tangent to the manifold
M at any given point x. In the tangent plane we introduce a basis e a α(x), a = 1, . . . , d
of orthonormal vectors:
(e a , e b ) ≡ h αβ e a αe b β = η ab ,
where η αβ is the flat Minkowski metric. In fact, e a α is an invertible d × d x-dependent
matrix which is called vielbein. The index α is called “curved” and its acted by
the general coordinate transformations (diffeomorphisms) as the usual vector index,
while the index a is called “flat” and its acted by the local (i.e. x-dependent) Lorentz
transformations as we will see in a moment. The inverse matrix is e α a and it obeys
e a αe α b = δa b . Because of this relation, we also have that
η ab e a αe b β = h αβ .
There is no a preferred choice of the basis in the tangent space and one orthonormal
set of tangent vectors can be transformed into the other by means of local Lorentz
transformations
e a α → Λ a be b α .
Introduction of the vielbein in favour of the metric introduces additional degrees
of freedom. Indeed, the vielbein being d × d-matrix has d 2 components, while the
metric h αβ has only d(d+1) components in d dimensions. On the other hand, if we
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require that the theory we consider has the local Lorentz symmetry, then there are