Volume 61 Issue 2 (2011) - Годишник на ТУ - София - Технически ...

Theorem 4.5 [14]. In the center of the semiring E(L) there is only twoelements: the identity i and the absorbing element ∞. In the center of the semiringÊ(L) there is only one element - the identity i.Let's consider the endomorphisms ϕ ∈ E(L) such that for any i = 1, . . . , 4either ϕ(a i ) = a i or ϕ(a i ) = m. This is the set of all idempotent endomorphismsin the semiring E(L). We will denote it by ID(E(L)). From Theorem 3.4 of [14]follows that this set is a commutative subsemiring of the semiring E(L) and itsorder is 2 4 = 16.We will denote the elements of the semiring ID(E(L)) as follows :i = (a 1 a 2 a 3 a 4 m), ϕ 1 = (a 1 m m m m), ϕ 2 = (m a 2 m m m),ϕ 3 = (m m a 3 m m), ϕ 4 = (m m m a 4 m),ϕ 12 = (a 1 a 2 m m m), ϕ 13 = (a 1 m a 3 m m), ϕ 14 = (a 1 m m a 4 m),ϕ 23 = (m a 2 a 3 m m), ϕ 24 = (m a 2 m a 4 m), ϕ 34 = (m m a 3 a 4 m),ϕ 123 = (a 1 a 2 a 3 m m),ϕ 134 = (a 1 m a 3 a 4 m),∞ = (m m m m m).ϕ 124 = (a 1 a 2 m a 4 m),ϕ 234 = (m a 2 a 3 a 4 m),The addition and multiplication tables of the semiring ID(E(L)) coincide andthe identity i is both an additively neutral and multiplicatively neutral element.So, we observe the following table+/· i ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 ϕ 12 ϕ 13 ϕ 14 ϕ 23 ϕ 24 ϕ 34 ϕ 123 ϕ 124 ϕ 134 ϕ 234 ∞i i ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 ϕ 12 ϕ 13 ϕ 14 ϕ 23 ϕ 24 ϕ 34 ϕ 123 ϕ 124 ϕ 134 ϕ 234 ∞ϕ 1 ϕ 1 ϕ 1 ∞ ∞ ∞ ϕ 1 ϕ 1 ϕ 1 ∞ ∞ ∞ ϕ 1 ϕ 1 ϕ 1 ∞ ∞ϕ 2 ϕ 2 ∞ ϕ 2 ∞ ∞ ϕ 2 ∞ ∞ ϕ 2 ϕ 2 ∞ ϕ 2 ϕ 2 ∞ ϕ 2 ∞ϕ 3 ϕ 3 ∞ ∞ ϕ 3 ∞ ∞ ϕ 3 ∞ ϕ 3 ∞ ϕ 3 ϕ 3 ∞ ϕ 3 ϕ 3 ∞ϕ 4 ϕ 4 ∞ ∞ ∞ ϕ 4 ∞ ∞ ϕ 4 ∞ ϕ 4 ϕ 4 ∞ ϕ 4 ϕ 4 ϕ 4 ∞ϕ 12 ϕ 12 ϕ 1 ϕ 2 ∞ ∞ ϕ 12 ϕ 1 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 2 ∞ ϕ 12 ϕ 12 ϕ 1 ϕ 2 ∞ϕ 13 ϕ 13 ϕ 1 ∞ ϕ 3 ∞ ϕ 1 ϕ 13 ϕ 1 ϕ 3 ∞ ϕ 3 ϕ 13 ϕ 1 ϕ 13 ϕ 3 ∞ϕ 14 ϕ 14 ϕ 1 ∞ ∞ ϕ 4 ϕ 1 ϕ 1 ϕ 14 ∞ ϕ 4 ϕ 4 ϕ 1 ϕ 14 ϕ 14 ϕ 4 ∞ϕ 23 ϕ 23 ∞ ϕ 2 ϕ 3 ∞ ϕ 2 ϕ 3 ∞ ϕ 23 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 23 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 23 ∞ϕ 24 ϕ 24 ∞ ϕ 2 ∞ ϕ 4 ϕ 2 ∞ ϕ 4 ϕ 2 ϕ 24 ϕ 4 ϕ 2 ϕ 24 ϕ 4 ϕ 24 ∞ϕ 34 ϕ 34 ∞ ∞ ϕ 3 ϕ 4 ∞ ϕ 3 ϕ 4 ϕ 3 ϕ 4 ϕ 34 ϕ 3 ϕ 4 ϕ 34 ϕ 34 ∞ϕ 123 ϕ 123 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ∞ ϕ 12 ϕ 13 ϕ 1 ϕ 23 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 123 ϕ 12 ϕ 13 ϕ 23 ∞ϕ 124 ϕ 124 ϕ 1 ϕ 2 ∞ ϕ 4 ϕ 12 ϕ 1 ϕ 14 ϕ 2 ϕ 24 ϕ 4 ϕ 12 ϕ 124 ϕ 14 ϕ 24 ∞ϕ 134 ϕ 134 ϕ 1 ∞ ϕ 3 ϕ 4 ϕ 1 ϕ 13 ϕ 14 ϕ 3 ϕ 4 ϕ 34 ϕ 13 ϕ 14 ϕ 134 ϕ 34 ∞ϕ 234 ϕ 234 ∞ ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 ϕ 23 ϕ 24 ϕ 34 ϕ 23 ϕ 24 ϕ 34 ϕ 234 ∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞.35