TESIS

3.1 Introducción
CAPÍTULO III
ALGORITMO DE YEE
Las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden que
describen la presencia de ondas electromagnéticas. La necesidad de encontrar su solución
computacional ha crecido en el transcurso del tiempo y existen en la actualidad diferentes
métodos numéricos que pretenden dar solución a este problema. El método de Diferencias
Finitas en el Dominio del Tiempo (FDTD) es una técnica numérica que resuelve las
ecuaciones de Maxwell en forma diferencial en el dominio del tiempo y espacio.
En este capítulo se presenta la construcción del algoritmo de FDTD comenzando con el
desarrollo de la técnica de Diferencias Finitas, la cual se utiliza para solucionar en forma
discreta las ecuaciones diferenciales. Se definen las ecuaciones de Maxwell en forma
discreta para un espacio rectangular de tres y dos dimensiones.
Para verificar que las soluciones del método numérico converjan a la solución real se
realiza un análisis de estabilidad numérica definido por Courant, Friedrich y Levy (CFL) y
Von Neumann [2]. Se presenta una comparación de la velocidad de propagación de la onda
dentro del método numérico con el real y por último se definen el conjunto de fuentes
utilizadas en este método numérico.
3.2 Diferencias Finitas
El método de diferencias finitas es un método numérico que se utiliza para resolver
ecuaciones diferenciales parciales en forma discreta. Esta técnica consiste en reemplazar las
derivadas parciales por una ecuación definida como “diferencias finitas” aproximada que si
bien no cumple exactamente con la ecuación diferencial, desde el punto de vista práctico se
toma como tal.
Las fórmulas de diferencias finitas son obtenidas por medio de la expansión de las series de
Taylor. Considerando la derivada parcial
∂ F(
x,
t)
, fijando el valor de x y realizando la
∂t
1 1
aproximación en dos puntos t + ∆t
y t − ∆t
se tiene:
2 2
.
y
2
3
⎛ 1 ⎞
∆t
∆t
1 ∆t
1
F ⎜ x,
t + ∆t
⎟ = F(
x,
t)
+ F′
( x,
t)
+ F ′′ ( x,
t)
⋅ + F ′′ ′ ( x,
t)
⋅ + ... (3.2.1a)
⎝ 2 ⎠
2 4 2!
8 3!
18