TESIS

Simplificando:
(
E
z
3 2
j
=
8πkr
∫
( (
+ jkrˆ
⋅
[ ˆ e ] dC
jkr + jkrˆ
⋅r'
() r e e n′
⋅ ∇′ E () r' − E () r' n′
⋅ ( jkr)
(
E
z
j
3 2
− r'
a z z a
Ca
− jkr
() e ⎡ jkr
n E () jkE
() n r⎤
+ ˆ⋅r'
r =
⋅ ∇′ r' − r' ⋅ e dC
8πkr
∫
C
′
⎢⎣
ˆa
a
(
z
(
z
ˆ
a
′
ˆ
⎥⎦
′
′
(5.2.12a)
(5.2.12b)
La integral de contorno esta compuesto por dos términos los cuales serán simplificados
aplicando álgebra vectorial.
Trabajando con el primer término de la integral de la ecuación (5.2.12b), el gradiente de la
(
función E z ( r ) en coordenadas cartesianas se define como
( (
( ∂Ez
∂Ez
∇′ Ez
() r' = xˆ
′ + yˆ
′
(5.2.13a)
∂x′
∂y′
Aplicando la ley de Faraday:
∂B
∇ × E = −
(5.2.13b)
∂t
y resolviendo:
⎛ ∂E
∂E
⎞ ⎛ ∂E
∂E
⎞ ⎛ ∂E
∂E
⎞ ∂
ˆ ⎜
( x′
B + y′
B + z Bz
)
y z ⎟
z x ⎜
x y ⎟ ˆ ˆ
(5.2.13c)
⎝ ∂ ′ ∂ ′ ⎠ ⎝ ∂ ′ ∂ ′ ⎠ ⎝ ∂ ′ ∂ ′ ⎠ ∂t
z y
x z
y x
x ′ − + yˆ
′ ⎜ − ⎟ + zˆ
′ − = −
′
x y ˆ
Sabiendo que B = µ oH
y por medio de la ecuación (5.2.13b) y (5.2.13c) es posible
reemplazar las componentes de E de la ecuación (5.2.13a) por las del H, relacionando estas
ecuaciones se obtiene:
(
(
(
∇′ E ( r' ) = xˆ
′ ( jωµ
H ) + yˆ
′ ( − jωµ
H )
(5.2.14a)
z
(
Haciendo zˆ ′ × H ( r′
) se tiene:
(
( ( (
zˆ
′ × jωµ
H( r')
j z′
( x′
H x ( r')
+ y′
H y ( r')
+ z′
0 = ωµ 0 ˆ × ˆ ˆ ˆ H z ( r')
) (5.2.14b)
resolviendo
z ′ × jωµ
( r')
= jωµ
yˆ
′ H ( r')
− xˆ
′ H ( r')
(
(5.2.14c)
0
y
[ ]
ˆ 0H
0 x
y
Por lo tanto la ecuación (5.2.14a) cambia a:
(
(
∇′ ( r')
= − jωµ
zˆ
′ × H(
r')
(5.2.14d)
E z
Sustituyendo (5.2.14d) en el primer término de la integral de contorno definida en
(5.2.12b):
Resolviendo:
(
(
nˆ ′ ( r')
′ [ ′
a ⋅∇′
Ez
= − jωµ
0nˆ
a ⋅ zˆ
× H(
r')
]
(5.2.15a)
0
0
x
54