Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

§ 1.3. Desigualdades Integrales 11
Reescribiendo la desigualdad anterior e integrando entre t 0 y t obtenemos que
{∫ t
}
R(t) ≤ R(t 0 )exp β(s)ds . (1.5)
t 0
Luego, por la definición de R(t) y por (1.4) obtenemos (1.3).
Lema 1.9 (Desigualdad de Gronwall) Supongamos que u , β ∈
sea c una constante no negativa. La desigualdad
C[IR, IR + ] y
implica que
∫ t
u(t) ≤ c + β(s)u(s)ds,
t 0
t ≥ t 0 ,
{∫ t
}
u(t) ≤ c exp β(s)ds
t 0
t ≥ t 0 .
Obsérvese que el lema de Gronwall es una consecuencia inmediata del lema 1.8,
eligiendo α(t) = c, ∀t ∈ IR.