Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

§ 2.1. Existencia y Unicidad 17
es solución de x ′ = 3x 2/3 con x(0) = x 0 > 0, para todo a ≤ − 3√ x 0 . Análogamente se
trata el caso x 0 < 0.
Vemos que en este caso, sí existen soluciones globales pero no hay unicidad global.
Sin embargo, dependiendo de la posición de x 0 , puede haber unicidad local. En efecto,
si x 0 ≠ 0, entonces existe un entorno de t 0 = 0, tal que por el punto (0, x 0 ) pasa una
única solución de x ′ = 3x 2/3 . En cambio, si x 0 = 0, entonces por más pequeño que sea
el entorno de t 0 = 0 que se considere, por el punto (0, 0) pasan infinitas soluciones de
x ′ = 3x 2/3 , (ver fig. 2.2 ).
Un cálculo directo muestra que f(t, x) = 3x 2/3 es localmente Lipschitz solo sobre
intervalos que no contengan a cero.
De los ejemplos 2.1 y 2.2 vemos que para E.D.O. de la forma (2.1), la sola continuidad
del campo vectorial f no garantiza en general, ni la existencia de soluciones
globales ni la unicidad.
Tiene lugar el siguiente
Lema 2.1 Supongamos que f ∈ C[J × D, IR n ]. El P.V.I. (2.1)-(2.2) es equivalente
a la resolución de la ecuación integral
∫ t
x(t) = x 0 + f(s, x(s))ds.
t 0
(2.3)
El resultado que presentaremos a continuación nos da la existencia y unicidad de soluciones
del P.V.I. (2.1)-(2.2) bajo condiciones bastante generales.
Teorema 2.2 Si f ∈ C[J × D, IR n ] es localmente Lipschitz , entonces para cualquier
punto (t 0 , x 0 ) ∈ J × D, existe δ > 0 y una única solución de (2.1)-(2.2) definida
en J 1 = (t 0 − δ, t 0 + δ).
Demostración. Elijamos constantes a > 0 y b > 0 tales que el conjunto
D ∗ = {(t, x) ∈ IR × IR n : | t − t 0 |≤ a , | x − x 0 |≤ b} ,
esté contenido en J × D. Llamemos M = max{| f(t, x) | : (t, x) ∈ D ∗ }, y sea K > 0 la
constante de Lipschitz de f| D ∗.
Tomemos ahora un número δ > 0 tal que 0 < δ < min{a, b/M,1/K}, y sea J 1 =
[t 0 − δ, t 0 + δ].
Consideremos ahora el subconjunto C ∗ de C[J 1 , IR n ] formado por las funciones que
satisfacen las condiciones siguientes :
a) ϕ(t 0 ) = x 0 ,
b) | ϕ(t) − x 0 |≤ b, t ∈ J 1 .