Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

§ 2.4. Dependencia Continua de las Soluciones Respecto a Parámetros 29
i ′ I′ I
(i(0), i ′ (0))
•
(I(0), I(0)) •
i
Figura 2.6
Este análisis nos permite concluir que no se puede despreciar la resistencia ejercida
por la línea que conduce la corriente, por pequeña que sea, cuando t → +∞.
En lo que sigue mostraremos que el problema de la dependencia de las soluciones
respecto a un parámetro, se reduce al estudio de la continuidad de las soluciones de un
nuevo sistema de ecuaciones diferenciales equivalente al sistema original, respecto a los
datos iniciales.
[ x
y =
µ
] [ f(t, x, µ)
, F(t, y) =
0
]
[ ]
x0
, y(t 0 ) = y 0 = ,
µ 0
se obtiene que el P.V.I. (2.7)-(2.8) es equivalente al siguiente problema:
y ′ = F(t, y), (2.11)
y(t 0 ) = y 0 . (2.12)
Teniendo en cuenta esta observación y el teorema de la dependencia continua de las
soluciones respecto a los datos iniciales, es inmediato el siguiente:
Teorema 2.14 (Dependencia Continua Respecto a Parámetros). Supongamos que
se verifican las condiciones siguientes:
a) f ∈ C[J × D × D 1 , IR n ],
b) La función f es localmente Lipschitz respecto a su segunda y tercera variable.
Entonces, para todo dato inicial p 0 = (t 0 , x 0 , µ 0 ) ∈ J ×D ×D 1 y un intervalo compacto
J ∗ contenido en el dominio de x(·, p 0 ), existe un entorno U ∗ ≡ U ∗ (p 0 ) tal que para todo
p ∗ 0 = (t∗ 0 , x∗ 0 , µ∗ 0 ) ∈ U ∗ se tiene que Domx(·, p ∗ 0 ) ⊃ J ∗ y además lim x(t, p ∗ 0) = x(t, p 0 ),
p ∗ 0 →p 0
uniformemente en t, sobre J ∗ .