Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

Capítulo 3
Sistemas Lineales
En este capítulo estudiaremos sistemas lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias.
En esta caso se puede obtener información mas detallada sobre el comportamiento
de sus soluciones, la cual será muy útil al momento de estudiar la dinámica de ecuaciones
diferenciales no lineales.
Un sistema de la forma
x ′ = A(t)x, (3.1)
se denomina lineal homogéneo y uno del tipo
y ′ = A(t)y + f(t), (3.2)
se denomina sistema lineal no homogéneo; donde A ∈ C[J, R n×n ] y f ∈ C[J,IR n ] .
Mostremos que (3.2) admite una única solución para cualquier problema de valor
inicial. En efecto, denotemos por F(t, y) = A(t)y + f(t). Como A y f son continuas,
se sigue que F también es continua y se verifica que
|F(t, y)| ≤ ‖A(t)‖ |y| + |f(t)|, ∀(t, y) ∈ J × IR n ,
entonces por el teorema de prolongación global 2.10, se sigue que (3.2) admite una única
solución definida sobre el intervalo J. En otras palabras el intervalo de continuidad de
las funciones A(t) y f(t) determina el intervalo maximal de existencia y unicidad de
las soluciones del sistema (3.2).
§ 3.1 Sistemas Lineales Homogéneos
Lema 3.1 Con las operaciones usuales de suma y producto por un escalar de funciones
el conjunto ∑ = {ϕ : J → IR n tal que ϕ satisface (3.1)} es un espacio
vectorial de dimensión n.
Demostración. Es obvio que ∑ es un subespacio vectorial del espacio C[J,IR n ].
Mostremos que ∑ es isomorfo a IR n . Para ello consideremos los siguientes P.V.I.
x ′ = A(t)x , x(t 0 ) = e j ,
donde {e j } n j=1 es la base canónica de IRn . Es claro que para cada j existe una única
solución del P.V.I., a esta solución la denotaremos por ϕ j . Entonces ϕ j ∈ ∑ , y el operador
T : IR n → ∑ , definido por Te j = ϕ j , induce un isomorfismo entre IR n y ∑ . En
efecto, si x 0 ∈ IR n , existen constantes c 1 , . . .,c n , tales que x 0 = ∑ n
i=1 c ie i . Luego por
ser T lineal, Tx 0 = ∑ n
i=1 c iϕ i . Definiendo ϕ(t) = ∑ n
i=1 c iϕ i , obtenemos que ϕ ∈ ∑ y
satisface la condición inicial x(t 0 ) = x 0 .
Teniendo en cuenta la prueba del lema 3.1 y el hecho que un isomorfismo envía
bases en bases, se sigue que {ϕ 1 , . . .,ϕ n } es una base del sub-espacio vectorial ∑ .
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