Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

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26 Capítulo 2. Teoría General a) ϕ(0) = 0, b) | ϕ(t) |≤ b, ∀t ∈ [−δ, δ]. Para cada y = (t 0 , x 0 ) ∈ U, definamos sobre C ∗ un operador T y de la manera siguiente: T y ϕ(t) := ∫ t+t0 t 0 f(s, ϕ(s − t 0 ) + x 0 )ds , t ∈ [−δ, δ]. Es claro que si ϕ es un punto fijo de T y , entonces ϕ ′ (t) = f(t + t 0 , ϕ(t) + x 0 ), de donde se sigue que x(t) = ϕ(t − t 0 ) + x 0 es solución del P.V.I. (2.1)-(2.2), para todo t ∈ [t 0 − δ, t 0 + δ]. Utilizando razonamientos análogos a los de la prueba del teorema 2.2, se obtiene que T y : C ∗ → C ∗ es una contracción uniforme respecto a y, con y ∈ U. Por lo tanto, en virtud del teorema 1.3 se sigue que ϕ(t, t 0 , x 0 ) es continua en (t 0 , x 0 ) sobre U, uniformemente en t con t ∈ [−δ, δ]. De donde a su vez concluimos que la función x(t, t 0 , x 0 ) = x 0 + ϕ(t − t 0 ; t 0 , x 0 ) es continua en (t 0 , x 0 ) sobre U, uniformemente en t, con t ∈ [t 0 − δ, t 0 + δ]. Sea ahora (t 0 , x 0 ) un punto cualquiera en J × D. Según el teorema 2.6, existe una única solución x(t, t 0 , x 0 ) no prolongable del P.V.I. (2.1)-(2.2), definida sobre un intervalo (α, β); con a ≤ α, β ≤ b. x (t + t 0 + δ 1 , x(t + t 0 + δ 1 , t 0 , x 0 )) α • (t • 0 , x 0 ) • • • t 0 + kδ t 0 t 0 + δ • • • t 1 t 0 + nδ β t 0 + 2δ t 0 + (k + 1)δ t 0 + (n − 1)δ Graf x(·, t 0 , x 0 ) Figura 2.4 Sea T ∈ (α, β). Sin pérdida de generalidad, supongamos que T > t 0 , el caso T < t 0 se analiza de manera análoga. Pongamos U = {(t, x(t, t 0 , x 0 )) : t ∈ [t 0 , T]}, el cual
§ 2.4. Dependencia Continua de las Soluciones Respecto a Parámetros 27 es un subconjunto compacto de J × D. Por lo demostrado previamente, x(t, ξ, η) es continua en (ξ, η) sobre U, uniformemente en t, con t ∈ [ξ − δ, ξ + δ]. Para probar que x(t, ξ, η) es continua en (ξ, η) uniformemente sobre [t 0 , T] particionemos el intervalo [t 0 , T] como sigue: t 0 < t 1 < t 2 < · · · < t k = t 0 + kδ < t k+1 < · · · < t p−1 ≤ T, donde p es el menor entero positivo tal que t 0 + (p − 1)δ ≤ T < t 0 + pδ. Teniendo en cuenta la unicidad de las soluciones de (2.1)-(2.2), se sigue que : x(t + t 1 ; t 0 , x 0 ) = x(t + t 1 ; t 1 , x(t 1 ; t 0 , x 0 )). Lo cual implica que la continuidad de x(t, t 0 , x 0 ) en (t 0 , x 0 ) es uniforme sobre el intervalo [t 0 , t 0 + 2δ]. Por lo tanto, x(s; ξ, η) es continua en (ξ, η) sobre U, uniformemente en s, con s ∈ [ξ − 2δ, ξ + 2δ] ∩ [t 0 , T]. Supongamos ahora que x(s; ξ, η) es continua en (ξ, η) sobre U, uniformemente sobre [ξ − kδ, ξ + kδ] ∩ [t 0 , T]. Nuevamente, por la unicidad, tenemos que x(t + t k ; t 0 , x 0 ) = x(t + t k ; t k , x(t k ; t 0 , x 0 )), lo cual implica la continuidad de x(s; ξ, η) respecto de (ξ, η) ∈ U, uniformemente sobre el intervalo [ξ − (k + 1)δ, ξ + (k + 1)δ] ∩ [t 0 , T]. Esto concluye la prueba del teorema. Supongamos que el campo vectorial f satisface las condiciones del teorema de existencia y unicidad. Sea (t 0 , x 0 ) en J×D y denotemos por (α(t 0 , x 0 ), β(t 0 , x 0 )) al intervalo maximal de existencia y unicidad de x(t, t 0 , x 0 ). Definamos el siguiente conjunto : Ω(f) = {(t, t 0 , x 0 ) : α(t 0 , x 0 ) < t < β(t 0 , x 0 ), (t 0 , x 0 ) ∈ J × D}. Al conjunto Ω(f) se le llama dominio de definición de x(t, t 0 , x 0 ). A partir del teorema de existencia y unicidad y el teorema sobre la dependencia continua de las soluciones respecto a los datos iniciales, se sigue que Ω(f) es un conjunto abierto. § 2.4 Dependencia Continua de las Soluciones Respecto a Parámetros Consideremos ahora el P.V.I., siguiente: x ′ (t) = f(t, x, µ), (2.7) x(t 0 ) = x 0 . (2.8)
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