Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

§ 2.2. Prolongación de Soluciones 23
Corolario 2.9 Si α > a ó β < b, entonces para todo conjunto compacto D ∗ ⊂ D,
existe un t ∈ (α, t 0 ] ó t ∈ [t 0 , β) tal que ϕ(t) ∉ D ∗ .
Un inconveniente que presenta el teorema de existencia global en las aplicaciones,
tiene que ver con el conjunto compacto D ∗ ; ya que no se sabe en general como podemos
construirlo. En lo que sigue daremos algunas condiciones suficientes para la existencia
de soluciones globales.
Teorema 2.10 Supongamos que f ∈ C[J × IR n , IR n ] es localmente Lipschitz y que
existen funciones M y N ∈ C[J,IR + ] tales que
| f(t, x) |≤ M(t) + N(t) | x | , ∀(t, x) ∈ J × IR n .
Entonces todas las soluciones de (2.1) son globales.
Demostración. Por reducción al absurdo. Sea ϕ la única solución no prolongable
del P.V.I. (2.1)-(2.2) definida sobre el intervalo (α, β). Supongamos, por ejemplo, que
β < b. Pongamos M 1 = max{M(t) : t ∈ [t 0 , β]}, N 1 = max{N(t) : t ∈ [t 0 , β]}. Como
ϕ es solución de (2.1)-(2.2) y teniendo en cuenta las condiciones del teorema, se sigue
que
∫ t
| ϕ(t) | ≤ | x 0 | + | f(s, ϕ(s)) | ds ≤| x 0 | +
t 0
≤ | x 0 | +
∫ t
t 0
M(s)ds +
≤ | x 0 | +M 1 (β − t 0 ) +
∫ t
∫ t
∫ t
t 0
N(s) | ϕ(s) | ds
t 0
(M(s) + N(s) | ϕ(s) |)ds
t 0
N(s) | ϕ(s) | ds , ∀t ∈ [t 0 , β).
Aplicando el lema de Gronwall a la desigualdad anterior obtenemos
| ϕ(t) |≤ [| x 0 | +M 1 (β − t 0 )] exp{N 1 (β − t 0 )}, ∀t ∈ [t 0 , β).
Esto muestra que ϕ(t) pertenece a un compacto para todo t ∈ [t 0 , β). Por el teorema
2.8 se sigue que β = b, lo cual es una contradicción.
Corolario 2.11 Si f ∈ C[J × IR n , IR n ] es globalmente Lipschitz, entonces las soluciones
de (2.1) son globales; es decir están definidas sobre todo J.
Esto se sigue inmediatamente del teorema 2.10 y del hecho que
|f(t, x)| ≤ |f(t, x) − f(t, 0)| + |f(t, 0)|, ∀(t, x) ∈ J × IR n .