Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

§ 3.1. Sistemas Lineales Homogéneos 41
Como Φ es una matriz solución del sistema (3.1), se tiene que Φ ′ = A(t)Φ. De donde
se sigue que ϕ ′ ij = ∑ n
k=1 a ikϕ kj . Sustituyendo estas expresiones en el determinante
∣ ϕ 11 · · · ϕ 1n∣∣∣∣∣∣∣∣∣
. . . . . . . . . .
ϕ ′ i1 · · · ϕ ′ in ,
. . . . . . . . . .
∣ϕ n1 · · · ϕ nn
multiplicando la primera fila por −a i1 , la segunda por −a i2 y así sucesivamente, excepto
la i−ésima fila; y sumándoselas a la i−ésima fila, obtenemos que
∣ ϕ 11 · · · ϕ 1n∣∣∣∣∣∣∣∣∣
. . . . . . . . . .
ϕ ′ i1 · · · ϕ ′ in = a ii W(t).
. . . . . . . . . .
∣ϕ n1 · · · ϕ nn
Lo cual inmediatamente implica que W ′ (t) = trA(t)W(t). Esto prueba nuestra afirmación.
Supongamos ahora que A(t) es una matriz constante y la seguiremos denotando con
la misma letra. Pongamos
∞∑
e At A n t n
= .
n!
Teniendo en cuenta que
i)
ii)
‖A n t n ‖
n!
∑ ∞
n=0
≤ ‖A‖n |t| n
n!
‖A‖ n |t| n
n!
< ∞,
n=0
se sigue que e At está bien definida. Más aún como ∑ ∞
n=0 An t n /n! converge uniformemente
sobre compactos, cada término de la serie es infinitamente diferenciable y la serie
de las derivadas término a término, también es uniformemente convergente, obtenemos
que Φ(t) = e At satisface la ecuación matricial lineal homogénea
y
Φ ′ (t) =
∞∑
n=1
n An t n−1
n!
= A
∞∑
n=1
Φ(0) = I n×n .
A n−1 t n−1
(n − 1)!
= AΦ(t),
Así, hemos mostrado que para sistemas lineales a coeficientes constantes la matriz
fundamental principal viene dada por Φ(t) = e At .