Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

§ 2.6. E.D.O. con Parte Derecha Discontinua 33
[∫ 1
] ∫
∂x
1
= − (t, t 0 + h, sx 0 + (1 − s)x(t 0 + h, t 0 , x 0 ))ds x(t 0 + (1 − s)h, t 0 , x 0 )ds,
0 ∂x 0 0
De esta expresión, haciendo tender h → 0, obtenemos el resultado deseado.
Consideremos el P.V.I. x ′ = f(t, x, µ), x(t 0 ) = x 0 , y denotemos por x(t, t 0 , x 0 , µ) a
su solución.
Teniendo en cuenta que (2.7)-(2.8) es equivalente al sistema (2.11) con y(t 0 ) = y 0 ,
se sigue del teorema 2.16 el siguiente:
Corolario 2.17 Si f ∈ C[J ×D ×D 1 , IR n ] y ∂f
∂x , ∂f existen y son continuas sobre
∂µ
J ×D×D 1 , entonces x(t, t 0 , x 0 , µ) es continuamente diferenciable en todas sus variables.
Además se tiene que :
a) La matriz ∂x
∂x 0
(t, t 0 , x 0 , µ) satisface a la ecuación diferencial variacional
con y(t 0 ) = I.
y ′ =
b) La matriz ∂x
∂µ (t, t 0, x 0 , µ) es solución de:
con y(t 0 ) = 0.
y ′ =
[ ]
∂f
∂x (t, x(t, t 0, x 0 , µ), µ) y
[ ]
∂f
∂x (t, x(t, t 0, x 0 , µ), µ) y + ∂f
∂µ (t, x(t, t 0, x 0 , µ), µ)
c)
∂x
(t, t 0 , x 0 , µ) = − ∂x (t, t 0 , x 0 , µ)f(t 0 , x 0 , µ).
∂t 0 ∂x 0
§ 2.6 E.D.O. con Parte Derecha Discontinua
En los parágrafos 2.1-2.5, solo hemos considerado campos vectoriales continuos.
Bajo esta condición el P.V.I.(2.1)-(2.2) es equivalente a la ecuación integral
∫ t
x(t) = x 0 + f(s, x(s))ds.
t 0
En la teoría de control automático, teoría de óptimo, etc., surge la necesidad de considerar
campos vectoriales en general discontinuos en t. En este parágrafo estudiaremos
E.D.O., cuyo campo vectorial pertenece a una clase más general, que la considerada
hasta el momento.