Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

§ 2.3. Continuidad de las Soluciones Respecto a los Datos Iniciales. 25
En lo que sigue, procederemos a mostrar que si las soluciones de (2.1) son únicas,
entonces ellas dependen continuamente de los datos iniciales.
Lema 2.12 Sea U un conjunto compacto contenido en J × D. Entonces existen
constantes a > 0 y b > 0 tales que el conjunto
A =
⋃
B(t 0 , x 0 ) con B(t 0 , x 0 ) = {(t, x) : |t − t 0 | ≤ a , |x − x 0 | ≤ b},
(t 0 ,x 0 )∈U
es un subconjunto compacto de J × D.
Demostración. Como J ×D es abierto, para cada (t 0 , x 0 ) ∈ U, existen constantes
α > 0 y β > 0, tales que el conjunto {(t, x) : |t − t 0 | < α , |x − x 0 | < β}, está
totalmente contenido en J × D. Por lo tanto la unión de todos estos conjuntos forman
un cubrimiento abierto de U. Así, en virtud del lema de Lebesgue, existen constantes
a ∗ > 0 y b ∗ > 0, tales que eligiendo 0 < a < a ∗ y 0 < b < b ∗ , obtenemos que A ⊂ J ×D.
Veamos que A es un conjunto compacto. Si (t, x) ∈ A, entonces existe un punto
(t 0 , x 0 ) ∈ U tal que | t − t 0 |≤ a y | x − x 0 |≤ b. Esto implica que
| t |≤| t − t 0 | + | t 0 |≤ a+ | t 0 | , | x |≤| x − x 0 | + | x 0 |≤ b+ | x 0 |,
de donde se obtiene que A es un conjunto acotado, por serlo U.
Veamos ahora que A es un conjunto cerrado. Para ello sea (t ∗ , x ∗ ) ∈ Ā. Entonces
existe una sucesión {(t n , x n )} n∈N ⊂ A, tal que lim (t n, x n ) = (t ∗ , x ∗ ).
n→∞
Por otra parte, es evidente que, para cada n ∈ N, existe un punto (t n 0 , xn 0 ) ∈ U tal
que | t n − t n 0 |≤ a y | x n − x n 0 |≤ b. Como la sucesión {(tn 0 , xn 0 )} n≥1 está contenida en
U, existe una subsucesión {(t n k
0 , xn k
0 )} k≥1 de {(t n 0 , xn 0 )} n≥1 convergente en U. Llamemos
(˜t 0 , ˜x 0 ) ∈ U su punto límite. Entonces
| t ∗ − ˜t 0 | ≤ | t ∗ − t nk | + | t nk − t n k
0 | + | t n k
0 − ˜t 0 |,
| x ∗ − ˜x 0 | ≤ | x ∗ − x nk | + | x nk − x n k
0 | + | x n k
0 − ˜x 0 | .
Luego, pasando el límite con n k → ∞, obtenemos que | t ∗ − ˜t 0 |≤ a y | x ∗ − ˜x 0 |≤ b y
con ello la prueba del lema.
Teorema 2.13 (Dependencia Continua de los Datos Iniciales)
Bajo las hipótesis del teorema de existencia y unicidad, las soluciones de (2.1) dependen
continuamente de los datos iniciales.
Demostración. Consideremos un conjunto compacto U ⊆ J×D. Sea A el conjunto
compacto dado por el lema 2.12. Denotemos por M = max{|f(t, x)| : (t, x) ∈ A} y
sea K > 0 la constante de Lipschitz de f| A . Escojamos una constante δ > 0 de manera
que δ < min{a, b/M,1/K}, con a > 0 y b > 0 las constantes dadas por el lema 2.12.
Consideremos el subconjunto C ∗ de C[[−δ, δ], IR n ] formado por las funciones ϕ tales
que: