Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

Capítulo 1
Preliminares
La intención de este capítulo es la de presentar algunos hechos básicos que utilizaremos
en el desarrollo de estas notas, procurando así que éstas se acerquen lo más
posible a ser auto contenidas.
§ 1.1 Espacio de las Funciones Continuas y Teoremas de Punto Fijo
Consideremos A y B dos espacios topológicos y denotemos por C[A, B] al conjunto
de todas las funciones continuas de A en B. En particular, el conjunto C[ [a, b], IR n ] con
las operaciones usuales de suma de funciones y producto por un escalar, es un espacio
vectorial. Además, con la norma ‖ϕ‖ = max{ | ϕ(t) |: t ∈ [a, b] } es un Espacio de
Banach separable, donde | · | es cualquier norma en IR n .
En Análisis es bastante común procurar caracterizar los conjunto compactos en un
espacio de funciones dado. En el caso concreto del espacio de las funciones continuas,
esta caracterización viene dada por el teorema de Arzela-Ascoli, el cual enunciaremos
para mayor completitud.
Definición 1.1 Sea A un subconjunto de C[ [a, b], IR n ]. Se dice que A es un conjunto
uniformemente acotado, si existe una constante K > 0; tal que ‖ϕ‖ ≤ K, para toda
ϕ ∈ A. Si para todo ε > 0, existe δ ≡ δ(ε) > 0, tal que | t − s |< δ implica que
| ϕ(t) − ϕ(s) |< ε, para cualquier ϕ ∈ A, entonces se dice que A es un conjunto
equicontinuo.
Lema 1.1 (Arzela-Ascoli,[11]) Un conjunto A ⊂ C[ [a, b], IR n ] es relativamente
compacto si y sólo si es uniformemente acotado y equicontinuo.
En particular, del lema de Arzela-Ascoli, se sigue que toda sucesión (ϕ n ) n≥1 de
un conjunto A equicontinuo y uniformemente acotado de C[ [a, b], IR n ], posee una subsucesión
uniformemente convergente sobre [a, b], puede ser que el límite de la subsucesión
no pertenezca a A.
Veamos en lo que sigue algunos teoremas de punto fijo. Para ello, consideremos un
espacio métrico completo E y una transformación T : E → E.
Definición 1.2 Se dice que x ∈ E es un punto fijo de la transformación T, si
Tx = x. Diremos que la aplicación T : E → E es una contracción, si existe una
constante L ∈ (0, 1), tal que d(Tx, Ty) ≤ L d(x, y), para todo x, y en E.
Teorema 1.2 (Banach 1922,[11]) Si T : E → E es una contracción, entonces T
posee un único punto fijo en E.
7