Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

§ 3.6. Sistemas Lineales ω-Periódicos No Homogéneos 49
Al reemplazar y 0 , dado por la expresión anterior, en (3.11) obtenemos que
∫ ω
ψ(t) = Φ(t)(I − Φ(ω)) −1 Φ(ω)Φ −1 (s)f(s)ds +
0
∫ t
0
Φ(t)Φ −1 (s)f(s)ds (3.12)
Luego, ψ(t) dada por (3.12) es una solución ω−periódica, no constante, del sistema
(3.10).
Por otra parte, si ψ 1 (t) y ψ 2 (t) representan soluciones ω−periódicas del sistema
(3.10), entonces ϕ(t) = ψ 1 (t) − ψ 2 (t) es solución ω−periódica del sistema (3.1) y por
las condiciones del teorema tiene que ser entonces ϕ(t) = 0, para todo t ∈ IR, es decir,
que ψ 1 = ψ 2 .
Definamos la función de Green G(t, s), como la única función que satisface las
propiedades siguientes :
1. lim G(t, s) − lim G(t, s) = I,
t→s + t→s− 2. G(0, s) = G(ω, s),
3. ∂G
∂t
(t, s) = A(t)G(t, s), ∀t ≠ s,
4. lim
t→s + ∂G
(t, s) − lim
∂t
t→s − ∂G
(t, s) = A(s).
∂t
Si observamos la expresión (3.12) y definimos
{
Φ(t)(I − Φ(ω)) −1 Φ −1 (s) 0 ≤ s ≤ t ≤ ω
G(t, s) =
Φ(t + ω)(I − Φ(ω)) −1 Φ −1 (s) 0 ≤ t ≤ s ≤ ω,
obtenemos entonces que G(t, s) es la función de Green asociada al sistema (3.1) y la
única solución ω−periódica del sistema no homogéneo (3.10) viene dada por
ψ(t) =
∫ ω
En efecto, de (3.12) se obtiene que
0
G(t, s)f(s)ds , t ∈ [0, ω].
[∫ ω
ψ(t) = Φ(t)(I − Φ(ω)) −1 Φ(ω)Φ −1 (s)f(s)ds + (I − Φ(ω))
[∫ ω
= Φ(t)(I − Φ(ω)) −1 Φ(ω)Φ −1 (s)f(s)ds +
0
t
Por otra parte, se tiene que
⎧
⎨ (I − Φ(ω)) −1 Φ(ω) = Φ(ω)(I − Φ(ω)) −1
⎩
Φ(t)Φ(ω) = Φ(t + ω).
∫ t
0
∫ t
0
Φ −1 (s)f(s)ds
]
Φ −1 (s)f(s)ds
]
.