Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

§ 2.2. Prolongación de Soluciones 19
Mostremos que T ˜C ⊂ ˜C y que es un operador completamente continuo. Es obvio que
para todo ϕ ∈ ˜C , Tϕ(t 0 ) = x 0 . También,
∫ t
| Tϕ(t) − x 0 |≤
∣ | f(s, ϕ(s)) | ds
∣ ≤ M | t − t 0 |< Mδ ∗ ≤ b, ∀t ∈ ˜J.
t 0
Lo cual implica que T ˜C ⊂ ˜C.
Probemos ahora que T ˜C es un conjunto equicontinuo. Sean ϕ ∈ ˜C,
Entonces
∫ t2
| Tϕ(t 1 ) − Tϕ(t 2 ) |≤
∣ | f(s, ϕ(s)) |
∣ ds ≤ M | t 1 − t 2 | ,
t 1
t 1 , t 2 ∈ ˜J.
lo cual prueba la equicontinuidad de T ˜C. Como T ˜C está uniformemente acotado, se
sigue que la clausura de T ˜C es compacta.
Finalmente, mostremos que T es continuo. Como f es uniformemente continua
sobre D, entonces para todo ε > 0, existe δ > 0, tal que
| f(s, ϕ 1 (s)) − f(s, ϕ 2 (s)) |< ε, ∀s ∈ ˜J, (2.5)
si | ϕ 1 (s) − ϕ 2 (s) |< δ , ∀s ∈ ˜J. Por otra parte, tenemos que
∫ t
| Tϕ 1 (t) − Tϕ 2 (t) |≤
∣ | f(s, ϕ 1 (s)) − f(s, ϕ 2 (s)) | ds
∣ . (2.6)
t 0
Así (2.5) y (2.6) prueban la continuidad de T.
Como todas las condiciones del corolario 1.6 del teorema de Schauder están satisfechas,
se sigue que T posee al menos un punto fijo en C ∗ . Esto completa la
demostración del teorema.
§ 2.2 Prolongación de Soluciones
Sean ϕ i : J i → D, i = 1, 2, dos soluciones del P.V.I. (2.1)-(2.2), con J 1 ⊂ J 2 .
Diremos que ϕ 2 es una prolongación de ϕ 1 al intervalo J 2 , si ϕ 1 (t) = ϕ 2 (t), ∀t ∈ J 1 .
Una solución del problema (2.1)-(2.2) se dice que es no prolongable, si ella no admite
una prolongación; y en este caso, al intervalo J ∗ donde está definido ϕ, le llamaremos
intervalo maximal de existencia de la solución ϕ.
Lema 2.4 Sea J ∗ = (α, β) y ϕ ∈ C 1 [J ∗ , IR n ]. Si | ϕ ′ (t) |≤ M , ∀t ∈ J ∗ , entonces
los límites lim ϕ(t) y lim ϕ(t) existen.
t→α + t→β−