Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

§ 2.6. E.D.O. con Parte Derecha Discontinua 35
Teorema 2.19 (Existencia y Unicidad de Soluciones no Prolongables)
Supongamos que:
a) f satisface la condición de Caratheodory.
b) f verifica la condición de Lipschitz generalizada. Entonces el P.V.I. (2.1)-(2.2)
posee una única solución no prolongable, definida sobre (α, β), con a ≤ α y β ≤ b.
Esbozo de la prueba
Primero se prueba la existencia y unicidad local. Para ello se fija un compacto U,
como en el teorema 2.18 (Caratheodory). Sean m y k en L 1 , las funciones dadas por
la condición de Caratheodory y Lipschitz generalizada, respectivamente. Sean a > 0 y
b > 0, tales que D = {(t, x) :| t − t 0 |≤ a, |x − x 0 | ≤ b} ⊂ U. Eligiendo una constante
de modo que 0 < δ < a, ∫ t 0 +δ
t 0
m(s)ds ≤ b y ∫ t 0 +δ
t 0
k(s)ds < 1 postulando exactamente
igual que en la prueba del teorema 2.2, se obtiene la existencia y unicidad local.