Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

§ 1.2. Condición de Lipschitz 9
Definición 1.4 Diremos que f es una función localmente Lipschitz sobre J × D,
si para todo punto p ∈ J × D, existe un entorno V p del punto p, tal que la restricción
de f a V p es globalmente Lipschitz.
Los dos conceptos anteriores están relacionados como se ve en el siguiente :
Lema 1.7 Si A es un subconjunto compacto de J × D y f ∈ C[J × D, IR n ] es una
función localmente Lipschitz, entonces su restriccción al conjunto A es globalmente
Lipschitz.
Demostración 1. Sea A un subconjunto compacto de J × D. Como f es localmente
Lipschitz, entonces para cada p ∈ J × D, existe un entorno V p tal que f| Vp es
globalmente Lipschitz. Claramente, {V p } p∈A es un cubrimiento abierto de A. Como
A es un conjunto compacto, existe un ε > 0, tal que para cada p ∈ A, existe un V p
con la propiedad que B 2ε (p) ⊂ V p . Es obvio que B ε (p) también es un cubrimiento
abierto de A. Luego por la compacidad de A, existen puntos p 1 , . . .,p m ∈ A tales que
A ⊂ ⋃ m
i=1 B ε(p i ).
Sean (t, x 1 ), (t, x 2 ) dos puntos arbitrarios en A. Sin pérdida de generalidad podemos
suponer que (t, x 1 ) ∈ B ε (p i ) para algún i ∈ {1, . . .,m}. Se presentan dos casos
1. El punto (t, x 2 ) ∈ B 2ε (p i ). Luego existe una constante K i > 0 tal que |f(t, x 1 ) −
f(t, x 2 )| ≤ K i |x 1 − x 2 |.
2. El punto (t, x 2 ) /∈ B 2ε (p i ). En este caso se verifica que |x 1 − x 2 | ≥ ε. Pongamos
M = max{|f(t, x)| , (t, x) ∈ A}. Así se tiene que |f(t, x 1 ) − f(t, x 2 )| ≤ 2M ≤
2M|x 1 − x 2 |/ε.
Eligiendo K = max{K 1 , . . .,K m , 2M/ε} concluimos la prueba del Lema.
Demostración 2. Por reducción al absurdo. Supongamos que para todo K > 0,
existen (t, x 1 ) y (t, x 2 ) en A, tales que
| f(t, x 1 ) − f(t, x 2 ) |> K | x 1 − x 2 | .
En particular, para cada k ∈ N, existen puntos (t k , x k i ) ∈ A, i = 1, 2, tales que
| f(t k , x k 1) − f(t k , x k 2) |> k | x k 1 − x k 2 | . (1.1)
Como A es compacto, también lo es A × A. Por tanto, la sucesión (z k ) k≥1 , donde
z k := ((t k , x k 1 ), (t k, x k 2 )) posee una subsucesión convergente en A×A. Sin pérdida de generalidad
podemos suponer que z k es convergente. Llamemos z ∗ := ((t ∗ , x ∗ 1 ), (t∗ , x ∗ 2 )) ∈
A al límite de z k .
Sea M = max{| f(t, x) | : (t, x) ∈ A}. Entonces por (1.1) obtenemos que
| x k 1 − x k 2 |≤ 2M k ;