Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

§ 3.5. Sistemas Lineales Homegéneos a Coeficientes Periódicos 47
Se sabe que si Φ(t) es una matriz fundamental de (3.1), Φ(t+ω) también lo es. Por
lo tanto existe una matriz invertible C tal que Φ(t + ω) = Φ(t)C. A la matriz C se le
llama matriz de monodromía.
Definición 3.5 A los autovalores de la matriz C los llamaremos multiplicadores
característicos del sistema (3.1).
Mostremos que los multiplicadores característicos no dependen de la elección de la
matriz fundamental. En efecto, sean Φ y Ψ dos matrices fundamentales de (3.1).
Luego, existen matrices C y D tales que Φ(t + ω) = Φ(t)C y Ψ(t) = Φ(t)D. De donde
se sigue que
Ψ(t + ω) = Φ(t + ω)D = Φ(t)CD = Ψ(t)D −1 CD .
Lo cual muestra que D −1 CD es una matriz de monodromía para Ψ semejante a la
matriz C. Lo cual prueba nuestra afirmación.
Basándose en la observación anterior podemos definir los multiplicadores característicos
como sigue.
Definición 3.6 Sea Φ la matriz fundamental principal del sistema (3.1). Llamaremos
multiplicadores característicos del sistema (3.1) a los autovalores de la matriz
Φ(ω) y exponentes característicos del sistema (3.1) a los autovalores de la matriz B que
aparece en (3.9).
Teorema 3.7 λ es un multiplicador característico del sistema ω−periódico (3.1) si
y sólo si existe una solución no trivial ϕ de (3.1) tal que ϕ(t + ω) = λϕ(t), t ∈ IR.
Demostración. Sea λ un multiplicador característico de (3.1). Llamemos x 0 al
autovector correspondiente a λ y sea ϕ la solución del P.V.I. x ′ = A(t)x , x(0) = x 0 .
Teniendo en cuenta que ϕ(t) = Φ(t)x 0 , donde Φ es la matriz fundamental fundamental
principal de (3.1), se sigue que
ϕ(t + ω) = Φ(t + ω)x 0 = Φ(t)Φ(ω)x 0 = Φ(t)λx 0 = λϕ(t), t ∈ IR.
Para probar la afirmación recíproca es suficiente poner t = 0 en la expresión ϕ(t+ω) =
λϕ(t), t ∈ IR.
Una consecuencia inmediata del Teorema 3.7 es el siguiente
Corolario 3.8 El sistema (3.1) admite una solución ω−periódica no constante si
y sólo si existe al menos un multiplicador característico igual a 1.
Observación 3.3 Si λ = −1 es un multiplicador característico del sistema (3.1),
entonces del teorema 3.7 se tiene que existe una solución no nula ϕ tal que ϕ(t + ω) =
−ϕ(t), ∀t ∈ IR. Lo cual implica que ϕ(t + 2ω) = −ϕ(t + ω) = ϕ(t), es decir, ϕ es
2ω−periódica.