Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

§ 2.2. Prolongación de Soluciones 21
Demostración. Probemos que ϕ ′ 1 (β) = f(β, ϕ 1(β)). Teniendo en cuenta la definición
de ϕ 1 = (ϕ 11 , ϕ 12 , . . .,ϕ 1i , . . .,ϕ 1n ) y las propiedades de ϕ, del teorema del valor
medio se sigue que :
ϕ 1i (β) − ϕ 1i (β − h)
h
= ϕ ′ 1i(β + h(θ i − 1)) = ϕ ′ i(β + h(θ i − 1))
donde h > 0, 0 < θ i < 1 , i = 1, . . .,n y ϕ i es la i-ésima componente de ϕ . Por tanto,
ϕ ′ 1i(β) =
ϕ 1i (β) − ϕ 1i (β − h)
lim
= lim
h→0 + h
h→0 ϕ′ i(β + h(θ i − 1))
+
= lim
h→0 + f i (β + h(θ i − 1), ϕ(β + h(θ i − 1))) = f i (β, B) = f i (β, ϕ 1 (β)),
para cada i = 1, . . .,n.
Análogamente se prueba que ϕ ′ 1 (α) = f(α, ϕ 1(α)).
Observemos que bajo las hipótesis del lema 2.4 ϕ no solo admite una prolongación a
un intervalo cerrado, sino que en realidad puede prolongarse a un intervalo abierto que
contenga a [α, β]. En efecto, denotemos con ψ 2 : [β, β + δ 2 ) → D , ψ 1 : (α − δ 1 , α] → D
a las soluciones de los P.V.I.
{ x ′ {
(t) = f(t, x) x
,
′ (t) = f(t, x)
.
x(β) = B x(α) = A
respectivamente; δ i > 0 , i = 1, 2. La existencia y unicidad de ψ 1 y ψ 2 vienen garantizadas
por el hecho de que (α, A) y (β, B) ∈ J ×D y f verifica las hipótesis del teorema
de existencia y unicidad.
Definamos ϕ 2 : (α − δ 1 , β + δ 2 ) → D, como sigue :
⎧
⎨ ψ 1 (t) si α − δ 1 < t ≤ α
ϕ 2 (t) = ϕ(t) si α < t < β
⎩
ψ 2 (t) si β ≤ t < β + δ 2 .
Para concluir que ϕ 2 es una prolongación de ϕ, es suficiente mostrar que la derivada
lateral derecha (izquierda) de ϕ 2 (de ϕ 2 ) existe en t = α (t = β) y es igual a f(α, ϕ 2 (α))
(f(β, ϕ 2 (β))). Y esto se realiza de manera análoga a la prueba del lema 2.5.
Teorema 2.6 (Existencia y Unicidad de Soluciones no Prolongables)
Bajo las hipótesis del teorema de existencia y unicidad local, el P.V.I. (2.1)-(2.2) admite
una única solución ϕ no prolongable, definida sobre el intervalo J ∗ = (α, β) con α ≥ a
y β ≤ b.