Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

§ 3.3. Sistemas Lineal Conjugado 43
§ 3.3 Sistemas Lineal Conjugado
Definición 3.3 Diremos que dos funciones x(t) y z(t) son conjugadas, si
< x(t), z(t) >= cte,
para todo t ∈ J. Aquí, < ·, · > denota al producto interior de IR n .
Sea x(t) una solución del sistema (3.1) y z(t) una función diferenciable. Si x(t) y z(t)
son funciones conjugadas , entonces
< x ′ (t), z(t) > + < x(t), z ′ (t) >= 0 , t ∈ J.
Luego, como x(t) es solución de (3.1) se sigue que
< x(t), A T (t)z(t) + z ′ (t) >= 0 , t ∈ J,
y para toda solución x(t) de (3.1). Lo cual implica que necesariamente z(t) debe
satisfacer la siguiente ecuación diferencial
z ′ (t) = −A T (t)z(t) , t ∈ J. (3.6)
Al sistema (3.6) se le llama sistema lineal conjugado.
Sea Φ(t) la matriz fundamental del sistema (3.1). Derivando la identidad
se obtiene que
Φ(t)Φ −1 (t) = I,
0 = Φ ′ Φ −1 + Φ(Φ −1 ) ′ = A(t) + Φ(Φ −1 ) ′
De donde se sigue que
(Φ −1 ) ′ = −Φ −1 A(t) , t ∈ J.
Es decir, (Φ T ) −1 es la matriz fundamental del sistema lineal conjugado (3.6).
Observación 3.1 En teoría de control óptimo y en programación lineal, frecuentemente
asociado al problema que se desea resolver, se plantea otro problema llamado
Problema Dual. En algunas teorías este problema dual se obtiene o viene a dar condiciones
necesarias para resolver el problema original. Es de destacar aquí que tales
problemas duales son en realidad los sistema conjugados asociados al sistema original.