Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

Capítulo 2
Teoría General
En este capítulo, estudiaremos propiedades generales de las ecuaciones diferenciales
ordinarias: existencia, unicidad, continuidad y derivabilidad de las soluciones, respecto
a los datos iniciales y parámetros.
§ 2.1 Existencia y Unicidad
Consideremos la E.D.O.
x ′ (t) = f(t, x(t)), (2.1)
con
x(t 0 ) = x 0 ; (2.2)
donde f ∈ C[J × D, IR n ] , J = (a, b) con −∞ ≤ a < b ≤ +∞; D es un subconjunto
abierto y conexo de IR n y (t 0 , x 0 ) ∈ J × D.
Entenderemos por solución del problema de valor inicial (P.V.I.) (2.1)-(2.2), a una
función ϕ ∈ C 1 (J 1 , D) tal que ϕ satisface la ecuación (2.1) para todo t ∈ J 1 y la
condición (2.2), donde J 1 ⊂ J. En el caso que J 1 = J, diremos que ϕ es una solución
global del P.V.I. (2.1)-(2.2).
Por comodidad en la notación de aquí en adelante cuando no se preste a confusión
omitiremos los argumentos de la función x(t) y simplemente escribiremos x ′ = f(t, x);
y a f lo llamaremos campo vectorial.
Antes de enunciar un teorema de existencia y unicidad, discutiremos unos ejemplos
a fin de visualizar mejor el problema que estamos tratando.
Ejemplo 2.1 Sea J ×D = IR 2 , f(t, x) = x 2 . Es fácil mostrar que cualquier solución
no nula de la ecuación diferencial x ′ = x 2 es de la forma ϕ(t) = −[t + c] −1 con c ∈ IR.
Además, ϕ(t) = 0, ∀t ∈ IR, también es solución.
Esto nos permite concluir que a pesar de ser f(t, x) = x 2 una función suave, no existen
soluciones globales no nulas (ver fig. § 2.1). Además, por cada punto (0, x 0 ) pasa
una única solución de x ′ = x 2 . Observemos finalmente que f(t, x) = x 2 es localmente
Lipschitz sobre IR 2 .
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