Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

§ 3.6. Sistemas Lineales ω-Periódicos No Homogéneos 51
Teorema 3.11 Supongamos que el sistema (3.10) posee al menos una solución
acotada en [0, +∞). Entonces dicho sistema admite una solución ω−periódica no constante.
Demostración. Sea ψ(t) una solución de (3.10) acotada sobre [0, +∞) tal que
ψ(0) = y 0 y sea Φ(t) la matriz fundamental principal del sistema homogéneo. Entonces
∫ ω
ψ(ω) = Φ(ω)y 0 + Φ(ω)Φ −1 (s)f(s)ds.
0
Como el sistema (3.10) es ω−periódico, entonces ψ(t+ω) también satisface a (3.10).
Luego, se tiene que
Poniendo t = ω, obtenemos
donde
ψ(t + ω) = Φ(t)ψ(ω) +
∫ t
0
Φ(t)Φ −1 (s)f(s)ds.
∫ ω
ψ(2ω) = Φ(ω)ψ(ω) + Φ(ω)Φ −1 (s)f(s)ds = Φ 2 (ω)y 0 + [Φ(ω) + I]V,
0
V =
∫ ω
Procediendo inductivamente se llega a
0
Φ(ω)Φ −1 (s)f(s)ds.
∑k−1
ψ(kω) = Φ k (ω)y 0 + Φ i (ω)V , k ∈ N.
Si se supone que el sistema (3.10) no posee soluciones ω−periódicas, entonces
i=0
[I − Φ(ω)]z ≠ V , ∀z ∈ IR n . (3.16)
En efecto, supongamos que [I − Φ(ω)]z = V = ∫ ω
0 Φ(ω)Φ−1 (s)f(s)ds, para algún
z ∈ IR n . Entonces la función
ϕ(t) = Φ(t)z +
∫ t
0
Φ(t)Φ −1 (s)f(s)
es una solución ω−periódica, de (3.10). Contradicción.
De (3.16) se deduce que det(I − Φ(ω)) = 0, puesto que de lo contrario la ecuación
(I − Φ(ω))z = V tendría solución. De allí que existe c ≠ 0, tal que (I − Φ(ω)) T c = 0 y
< V, c >≠ 0.