Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

§ 3.5. Sistemas Lineales Homegéneos a Coeficientes Periódicos 45
§ 3.5 Sistemas Lineales Homegéneos a Coeficientes Periódicos
La búsqueda de soluciones periódicas para sistemas del tipo y ′ = f(t, y) es equivalente
a resolver un problema de frontera del tipo y(0) = y(ω), donde ω > 0 representa
el período de la solución buscada. Este tipo de problemas es de gran importancia
práctica.
En este parágrafo consideraremos el sistema (3.1) bajo la condición adicional que
A(t) es una matriz ω−periódica. En este caso decimos que el sistema (3.1) es ω−periódico.
Mostraremos que los sistemas lineales ω-periódicos son reducibles a sistemas
con coeficientes constantes.
Probemos en primer lugar el siguiente lema auxiliar.
Lema 3.4 Sea C una matriz real e invertible. Entonces, existe una matriz B, en
general compleja, tal que e B = C.
Demostración. Dada la matriz C, denotemos por λ 1 , · · · , λ m sus autovalores. Entonces
existe una matriz invertible T tal que T −1 CT = J, donde J := diag[J 1 , . . .,J m ],
J i = λ i I + S y S es una matriz nilpotente del tipo
⎛
S :=
⎜
⎝
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
Observemos que es suficiente probar el lema para un bloque elemental de Jordan. En
efecto, si para cada i = 1, . . .,m, existe una matriz B i tal que J i = e B i
, entonces
⎞
⎟
⎠ .
C = TJT −1 = T diag [J 1 , . . .,J m ] T −1 = T diag [e B 1
, . . .,e Bm ]T −1
= Te ˜BT −1 = e T ˜BT −1 = e B ,
donde ˜B = diag[B 1 , . . .,B m ] y B = T ˜BT −1 .
Luego, podemos suponer sin perder generalidad, que la matriz C tiene la forma
C = λI + S , (λ ≠ 0), o bien C = λ(I + S ). Pongamos ahora
λ
B = (lnλ)I + ln(I + S λ ).
La matriz B está bien definida, ya que al ser S una matriz nilpotente existe p ∈ N tal
que S k = 0, ∀k ≥ p + 1, lo cual implica que
S 1 = ln(I + S λ ) = ∞ ∑
k=1
(−1) k+1 S k
kλ k =
p∑
k=1
(−1) k+1 S k
kλ k .