Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

§ 2.7. Ejercicios y Problemas 37
7. Sea f : IR × IR n → IR n . Si ϕ es una solución no prolongable del P.V.I. x ′ =
f(t, x), x(t 0 ) = x 0 , definida sobre (α, β), (−∞ < α < β < +∞), entonces
|ϕ(t)| = +∞, lim |ϕ(t)| = +∞.
− +
lim
t→β
t→α
8. Sea f ∈ C[IR × IR n , IR n ] tal que |f(t, x)| ≤ k(t)δ(|x|), para todo (t, x) ∈ IR ×
∫
IR n ; donde k ∈ C(IR, IR + 0 ) , δ ∈ C[IR+ 0 , IR+ 0 ] , δ(0) = 0 , δ(v) > 0 ∀v > 0 y
∞ dv
0 δ(v) = ∞.
Pruebe que todas las soluciones del sistema x ′ = f(t, x) son prolongables a +∞.
Indicación: Estime el crecimiento de la función v 2 =< x, x > a lo largo de las
soluciones del sistema.
9. Sea f : IR → IR una función continua y acotada. Sea ϕ n : [0, 1] → IR una sucesión
de soluciones de la E.D.O. x ′ = f(x).
Pruebe que: si ϕ n converge para algún t ∗ ∈ [0, 1], entonces existe una subsucesión,
que converge a una solución de x ′ = f(x).
Indicación: aplique el lema de Arzela-Ascoli al conjunto H = {ϕ 1 , ϕ 2 , · · · }.
10. Sea x ′ (t) = 2t+µx 2 , x(t 0 ) = x 0 , y Denotemos su solución por x(t, t 0 , x 0 , µ). Halle
∂x(t, t 0 , x 0 , µ)
en el punto (t, 0, −1, 0).
∂µ
11. Sea x ′′ + 3x ′ = 2 sint + µ(x ′ ) 2 , x(t 0 ) = x 0 , x ′ (t 0 ) = x. Halle
∂x ∂x , ∂x
0 ∂x ′ ,
∂µ ∂x
0
punto (t, 0, 0, 0, 0).
en el
12. Muestre que : Si el sistema x ′ = f(x) admite soluciones no prolongables a +∞,
entonces existe un cambio de la variable independiente, tal que las soluciones del
sistema transformado son prolongables a +∞.
Indicación: Ponga
u(t) =
∫ t
0
13. Supongamos que existe k ∈ C[J,IR + ], tal que
√
1 + |f(ϕ(s))| 2 ds , t ∈ [0, β) , β < +∞.
|f(t, x) − f(t, y)| ≤ k(t)|x − y|, ∀(t, x), (t, y) ∈ J × IR n .
Demuestre que si f es continua en t, entonces el P.V.I y ′ = f(t, y), y(t 0 ) = y 0 ,
posee una única solución definida ∀t ∈ J.
14. Estudie la prolongabilidad a ±∞ de las soluciones de las siguientes ecuaciones
x ′ = 1 + x 2 , x ′ = x 2 ± t 2 .