Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

§ 2.5. Derivabilidad de las Soluciones Respecto a los Datos Iniciales y a Parámetros 31
Demostración. Primero probaremos que ∂x
∂x 0
(t, t 0 , x 0 ) existe, que es continua
y satisface (2.15). Para ello sea h ≠ 0 un número real arbitrario y escribamos e k =
(e 1k , · · · , e jk , · · · , e nk ) T , con e jk = δ jk el delta de Kronecker y con (·) T indicamos vector
traspuesto. Para mayor comodidad y sencillez en la notación en lo que sigue, pongamos
x(t, h) = x(t; t 0 , x 0 + he k ) y x 0 (t) = x(t, t 0 , x 0 ). Al ser el dominio de definición de
x(t, t 0 , x 0 ) un conjunto abierto, podemos elegir h suficientemente pequeño de manera
que (x 0 + (1 − s)he k ) ∈ D, para todo s ∈ [0, 1].
Teniendo en cuenta la definición de x(t, h), se sigue que :
(x(t, h) − x 0 (t)) ′ = f(t, x(t, h)) − f(t, x 0 (t)). (2.17)
Aplicando el lema 2.15 a la parte derecha de la expresión (2.17), con x 2 = x(t, h) ,
x 1 = x 0 (t), obtenemos
Poniendo
[∫ 1
]
(x(t, h) − x 0 (t)) ′ ∂f
=
∂x (t, sx 2 + (1 − s)x 1 )ds (x(t, h) − x 0 (t)). (2.18)
0
x h (t) = x(t, h) − x 0(t)
, con h ≠ 0,
h
vemos que x h (t) es solución de (2.18), con x h (t 0 ) = e k . Sea ϕ la única solución de (2.15)
tal que ϕ(t 0 ) = e k . Mostremos que x h (t) → ϕ(t) cuando h → 0, uniformemente en t
sobre intervalos compactos contenidos en el dominio de x 0 (t).
Sabemos que
y
Así que
∫ t
[∫ 1
]
∂f
x h (t) = e k +
t 0 0 ∂x (τ, sx 2 + (1 − s)x 1 )ds x h (τ)dτ,
|x h (t) − ϕ(t)| ≤
∣
+
∣
∫ t ∫ 1
|
t 0 0
∫ t
[ ]
∂f
ϕ(t) = e k +
t 0
∂x (τ, x(τ, t 0, x 0 )) ϕ(τ)dτ.
∫ t ∫ 1
|
t 0 0
∂f
∂x (t, sx 2 + (1 − s)x 1 )ds| · |x h (t) − ϕ(t)|dt
∣
[ ∂f
∂x (t, sx 2 + (1 − s)x 1 ) − ∂f ]
∂x (t, x(t, t 0, x 0 ))
ds| · |ϕ(t)|dt
∣ .
(2.19)
Sea J ∗ un intervalo compacto cualquiera contenido en el dominio de x 0 (t), tal que
t 0 ∈ J ∗ .