Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Facultad de Ciencias

§ 1.5. Ejercicios y Problemas 13
§ 1.5 Ejercicios y Problemas
1. Sea E un espacio métrico completo y T : E → E un operador. Si existe un n ∈ N
tal que T n es una contracción, entonces T posee un único punto fijo en E.
2. Sea D ⊂ IR n un conjunto compacto. Denotemos por S al conjunto de todas las
funciones ϕ : D → IR n globalmente Lipschitz con una misma constante K > 0.
Pruebe que si S es un conjunto acotado, entonces S es un conjunto compacto de
C[D, IR n ].
3. Sea f : J × D → IR n una función continua. Donde J = (a, b) y D es un subconjunto
abierto IR n . Denotemos por
( ) ∂fi
∂f/∂x(t, x) := (t, x) i, j = 1, n
∂x j
Demuestre las siguientes afirmaciones :
(a) Sea D un conjunto convexo. Si ∂f/∂x existe, es continua y está acotada
sobre J × D, entonces f es globalmente Lipschitz sobre J × D.
(b) Supongamos que ∂f/∂x existe y es uniformemente continua sobre J × D,
con D conjunto convexo. Si J × D es un subconjunto acotado de IR n+1 ,
entonces f es globalmente Lipschitz sobre J × D. ¿ Es esencial la acotación
de J × D ?.
(c) Si ∂f/∂x es continua sobre J × D, entonces f es localmente Lipschitz sobre
J × D.
(d) Si f : J × D → IR n es localmente Lipschitz en x, uniformemente en t,
entonces ∂f/∂x existe, excepto en un conjunto de medida nula.
(e) Si ∂f/∂x existe y no es acotada sobre J × D, entonces f no puede ser globalmente
Lipschitz sobre J × D.
4. Muestre que el conjunto de las funciones globalmente Lipschitz son un subconjunto
propio del conjunto de las funciones localmente Lipschitz.
5. Si f es una función continua en t y localmente Lipschitz en x sobre J ×D, entonces
f ∈ C[J × D, IR n ].
6. Supongamos que u y β ∈ C[IR, IR + ]. Pruebe que si
∫ t
u(t) ≤ c +
∣ β(s)u(s)ds
∣ , ∀t ∈ IR,
t 0
entonces
donde c ≥ 0.
(∣∫ ∣∣∣ t
)
u(t) ≤ c exp β(s)ds
∣ , ∀t ∈ IR,
t 0