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66 Chapitre II
1.1.5. Trois caractéristiques de la méthode newtonienne des séries
Dans le traité, presque toutes les applications de la méthode des fluxions sont des applications de la
dérivation : maxima et minima, tangentes, courbures. Il apparaît une seule application de l’intégration,
dans le “Problème IX. Trouver l’Aire d’une Courbe proposée quelconque”, mais elle ne concerne que le
calcul des intégrales. Il est donc difficile de savoir dans quel contexte Newton utilisait la méthode des
séries pour les équations différentielles générales, et comment, dans la pratique, il réalisait les calculs
numériques. On peut toutefois dégager trois caractéristiques essentielles de la méthode newtonienne d’intégration
par les séries.
Tout d’abord, ainsi que nous l’avons vu, c’est une méthode universelle destinée à traiter de la même
façon tous les problèmes qui peuvent se présenter. Si des méthodes alternatives d’intégration en termes
finis sont développées — plus loin dans le traité — pour le calcul des aires, ce n’est pas le cas pour les
équations différentielles générales. Aucun exemple d’intégration exacte n’est donné pour une équation à
variables mêlées, si ce n’est de manière fortuite, lorsqu’une solution en termes finis apparaît spontanément
à l’issue de l’intégration par les séries. Contrairement à ce qui se passera sur le Continent, la méthode des
séries vient en premier, les méthodes d’intégration algébrique ensuite. En 1671, Newton se place résolument
dans une perspective d’intégration approchée.
Second point important : c’est une méthode conçue pour le calcul numérique. Dans le cas des quadratures,
Newton donne plusieurs exemples de “Calcul en nombres” où il se montre virtuose dans la manipulation
des séries, avec une intuition très fine de leur convergence et même de leur rapidité de convergence,
bien que ces notions ne soient pas présentes explicitement. Il obtient ainsi des aires hyperboliques ou circulaires
avec une quinzaine de chiffres significatifs exacts. En particulier, il trouve à cette précision des
valeurs correctes de π et de log 2. De ce point de vue, on comprend pourquoi il ne servirait à rien d’obtenir
une expression finie de l’aire faisant intervenir des fractions, des racines ou des logarithmes, puisque, de
toute façon, il faudrait réduire cette expression en série pour la calculer effectivement. Autant réduire en
série avant même l’intégration !
Concrètement, Newton n’envisage pas des séries réellement infinies, mais toujours des sommes d’un
nombre fini de termes de la forme x s , avec des exposants qui peuvent être positifs, négatifs ou fractionnaires.
Contrairement à ce que feront plus tard Leibniz et surtout Euler, Newton ne cherche presque jamais
à “définir” complètement les séries en donnant une expression ou une loi de formation du terme général
(sauf omission de notre part, il le fait une seule fois, pour les aires hyperboliques, sans doute à cause de
l’importance et de l’omniprésence des logarithmes). Chez lui, l’infini reste potentiel. Dans chaque
exemple, il extrait seulement quatre, cinq, six termes de la série, avec des coefficients numériques explicites,
autant qu’il en faudrait pour les besoins d’un calcul éventuel mais pas plus.
Une dernière caractéristique de la méthode des séries, soulignée par Newton lui-même, est qu’il s’agit
seulement d’une méthode empirique de découverte de la solution. Une preuve ou une vérification reste
indispensable (p. 45) :
“Le Problème est donc résolu, mais la Démonstration reste & n’est pas aisée à trouver par la Synthèse
; la matière est trop compliquée & trop variée pour qu’on doive se servir de cette Méthode, qui au
lieu d’éclaircir jetterait ici de l’obscurité ; ainsi l’on se contentera de l’atteindre par l’Analyse en cherchant
tout simplement si de l’Équation trouvée on peut revenir à l’Équation proposée, ce qui prouvera
assez que la Méthode est sûre.”