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fichier pdf - IUFM de l'académie de la Réunion

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66 Chapitre II<br />

1.1.5. Trois caractéristiques <strong>de</strong> <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> newtonienne <strong>de</strong>s séries<br />

Dans le traité, presque toutes les applications <strong>de</strong> <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> <strong>de</strong>s fluxions sont <strong>de</strong>s applications <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />

dérivation : maxima et minima, tangentes, courbures. Il apparaît une seule application <strong>de</strong> l’intégration,<br />

dans le “Problème IX. Trouver l’Aire d’une Courbe proposée quelconque”, mais elle ne concerne que le<br />

calcul <strong>de</strong>s intégrales. Il est donc difficile <strong>de</strong> savoir dans quel contexte Newton utilisait <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> <strong>de</strong>s<br />

séries pour les équations différentielles générales, et comment, dans <strong>la</strong> pratique, il réalisait les calculs<br />

numériques. On peut toutefois dégager trois caractéristiques essentielles <strong>de</strong> <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> newtonienne d’intégration<br />

par les séries.<br />

Tout d’abord, ainsi que nous l’avons vu, c’est une métho<strong>de</strong> universelle <strong>de</strong>stinée à traiter <strong>de</strong> <strong>la</strong> même<br />

façon tous les problèmes qui peuvent se présenter. Si <strong>de</strong>s métho<strong>de</strong>s alternatives d’intégration en termes<br />

finis sont développées — plus loin dans le traité — pour le calcul <strong>de</strong>s aires, ce n’est pas le cas pour les<br />

équations différentielles générales. Aucun exemple d’intégration exacte n’est donné pour une équation à<br />

variables mêlées, si ce n’est <strong>de</strong> manière fortuite, lorsqu’une solution en termes finis apparaît spontanément<br />

à l’issue <strong>de</strong> l’intégration par les séries. Contrairement à ce qui se passera sur le Continent, <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> <strong>de</strong>s<br />

séries vient en premier, les métho<strong>de</strong>s d’intégration algébrique ensuite. En 1671, Newton se p<strong>la</strong>ce résolument<br />

dans une perspective d’intégration approchée.<br />

Second point important : c’est une métho<strong>de</strong> conçue pour le calcul numérique. Dans le cas <strong>de</strong>s quadratures,<br />

Newton donne plusieurs exemples <strong>de</strong> “Calcul en nombres” où il se montre virtuose dans <strong>la</strong> manipu<strong>la</strong>tion<br />

<strong>de</strong>s séries, avec une intuition très fine <strong>de</strong> leur convergence et même <strong>de</strong> leur rapidité <strong>de</strong> convergence,<br />

bien que ces notions ne soient pas présentes explicitement. Il obtient ainsi <strong>de</strong>s aires hyperboliques ou circu<strong>la</strong>ires<br />

avec une quinzaine <strong>de</strong> chiffres significatifs exacts. En particulier, il trouve à cette précision <strong>de</strong>s<br />

valeurs correctes <strong>de</strong> π et <strong>de</strong> log 2. De ce point <strong>de</strong> vue, on comprend pourquoi il ne servirait à rien d’obtenir<br />

une expression finie <strong>de</strong> l’aire faisant intervenir <strong>de</strong>s fractions, <strong>de</strong>s racines ou <strong>de</strong>s logarithmes, puisque, <strong>de</strong><br />

toute façon, il faudrait réduire cette expression en série pour <strong>la</strong> calculer effectivement. Autant réduire en<br />

série avant même l’intégration !<br />

Concrètement, Newton n’envisage pas <strong>de</strong>s séries réellement infinies, mais toujours <strong>de</strong>s sommes d’un<br />

nombre fini <strong>de</strong> termes <strong>de</strong> <strong>la</strong> forme x s , avec <strong>de</strong>s exposants qui peuvent être positifs, négatifs ou fractionnaires.<br />

Contrairement à ce que feront plus tard Leibniz et surtout Euler, Newton ne cherche presque jamais<br />

à “définir” complètement les séries en donnant une expression ou une loi <strong>de</strong> formation du terme général<br />

(sauf omission <strong>de</strong> notre part, il le fait une seule fois, pour les aires hyperboliques, sans doute à cause <strong>de</strong><br />

l’importance et <strong>de</strong> l’omniprésence <strong>de</strong>s logarithmes). Chez lui, l’infini reste potentiel. Dans chaque<br />

exemple, il extrait seulement quatre, cinq, six termes <strong>de</strong> <strong>la</strong> série, avec <strong>de</strong>s coefficients numériques explicites,<br />

autant qu’il en faudrait pour les besoins d’un calcul éventuel mais pas plus.<br />

Une <strong>de</strong>rnière caractéristique <strong>de</strong> <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> <strong>de</strong>s séries, soulignée par Newton lui-même, est qu’il s’agit<br />

seulement d’une métho<strong>de</strong> empirique <strong>de</strong> découverte <strong>de</strong> <strong>la</strong> solution. Une preuve ou une vérification reste<br />

indispensable (p. 45) :<br />

“Le Problème est donc résolu, mais <strong>la</strong> Démonstration reste & n’est pas aisée à trouver par <strong>la</strong> Synthèse<br />

; <strong>la</strong> matière est trop compliquée & trop variée pour qu’on doive se servir <strong>de</strong> cette Métho<strong>de</strong>, qui au<br />

lieu d’éc<strong>la</strong>ircir jetterait ici <strong>de</strong> l’obscurité ; ainsi l’on se contentera <strong>de</strong> l’atteindre par l’Analyse en cherchant<br />

tout simplement si <strong>de</strong> l’Équation trouvée on peut revenir à l’Équation proposée, ce qui prouvera<br />

assez que <strong>la</strong> Métho<strong>de</strong> est sûre.”

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