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106 Chapitre II
Fondamentalement, Fourier ne fait donc rien de plus que Lagrange ou Euler.
Ince 68 signale d’autres intégrations “logarithmiques” d’équations linéaires du second ordre au moyen
des fractions continues, analogues à celle que nous avons trouvée chez Fourier : au tout début du 20 e
siècle, Perron a donné un critère général de convergence et a intégré l’équation de Bessel ; Ince lui-même
a intégré l’équation hypergéométrique. Ces rares exemples confirment les conclusions que nous avons
déjà plus ou moins dégagées et que nous allons récapituler de manière précise :
1) Parce qu’elles sont fonctions homographiques de chacun de leurs termes, les fractions continues
sont intimement liées aux équations de Riccati (de même que, parce qu’elles sont fonctions linéaires de
chacun de leurs termes, les séries entières sont intimement liées aux équations linéaires).
2) L’emploi des fractions continues s’inscrit dans la longue lignée des recherches menées pour réussir
l’intégration algébrique des équations de Riccati, lignée qui devait aboutir, en 1841, au résultat négatif de
Liouville. Chez Euler, en particulier, les fractions continues sont un outil abstrait, d’ordre purement
mathématique, qui n’est pas destiné à l’intégration approchée numérique.
3) Lagrange a tenté, sans succès, de faire des fractions continues une méthode générale d’intégration
approchée analytique et numérique pouvant concurrencer la méthode des séries. Malgré ses efforts, il n’a
pu se détacher des équations de Riccati.
4) Les équations de Riccati sont assez répandues dans la pratique puisqu’elles contiennent les équations
linéaires du premier ordre et que les équations linéaires du second ordre s’y ramènent. La technique
d’intégration approchée par les fractions continues aurait donc pu répondre à une large partie des besoins
de la physique mathématique. Malgré cela, sans doute à cause de la complexité des calculs nécessaires, la
tentative de Lagrange n’a pas connu de prolongement significatif.
3.3. Les séries d’interpolation de Kramp
En 1819/20, le professeur Kramp, doyen de la faculté des sciences de Strasbourg, publie dans les
Annales de Gergonne une série de trois articles consacrés à l’intégration par approximation des équations
différentielles. Il y développe une méthode personnelle et originale, aujourd’hui complètement oubliée.
3.3.1. La méthode de Kramp
Le premier article de la série porte un titre plutôt ambitieux : “Essai d’une méthode générale, servant à
intégrer, avec une approximation illimitée, toute équation différentielle à deux variables” 69 . Dans l’introduction,
Kramp précise ses intentions (p. 1) :
“Dans plusieurs précédents mémoires, nous avons enseigné à construire des formules à l’aide desquelles
on peut intégrer, entre deux limites données et avec tout le degré d’approximation qu’on peut
désirer, toute fonction différentielle d’une seule variable : nous nous proposons de montrer ici comment,
en suivant l’esprit de la même méthode, on peut parvenir à intégrer, avec le même degré d’approximation,
toute équation différentielle d’ordre et de degré quelconque, entre deux variables x, y. Ce sujet semble
devoir mériter d’autant plus d’intérêt que notre indigence, relativement à cette branche d’analyse, n’est
68 Ordinary differential equations, 1926 ; rééd. Dover, 1956, pp. 178-182.
69 Annales de mathématiques pures et appliquées, recueil périodique rédigé et publié par J. D. Gergonne, t. 10, Nîmes, 1819 et
1820, pp. 1-32.