fichier pdf - IUFM de l'académie de la Réunion

60 Chapitre II
nières Lettres surmontées d’un point ˙v, ẋ, ẏ&ż les vitesses dont les Fluentes sont augmentées par le
mouvement qui les produit, & que par conséquent on peut appeler Fluxions.”
Après avoir résolu sans difficulté le “Problème I. Étant donné la Relation des Quantités Fluentes,
trouver la Relation de leurs Fluxions.”, c’est-à-dire le problème de la dérivation, Newton aborde le problème
inverse (p. 26) : “Problème II. Étant donnée la Relation des Fluxions, trouver celle des Quantités
Fluentes.” Ce Problème II est divisé en trois sous-problèmes (p. 30) :
“XIII. Mais à l’égard de ce Problème nous pouvons distinguer les Équations en trois Classes.
XIV. La première des Équations où il ne se trouve que les deux Fluxions & l’une des Fluentes.
XV. La seconde où il se trouve les deux Fluxions & les deux Fluentes.
XVI. La troisième où il se trouve des Fluxions de plus de deux Quantités.”
La première classe comprend les équations de la forme ẏ ẋ = f (x) (ou ẏ ẋ = g(y), qui se ramène aussitôt
à ẋ ẏ = f (y)). La solution consiste à prendre pour variable indépendante (Newton dit “quantité corrélative”)
la seule fluente présente dans l’équation, à développer en série la quantité du second membre et
à intégrer terme à terme, ce qui conduit à une expression, en général infinie, de la variable dépendante (la
“quantité relative”). On peut voir là une généralisation audacieuse des résultats acquis auparavant pour
les polynômes. Par ailleurs, la troisième classe englobe toutes les équations aux dérivées partielles ; elle ne
nous intéresse pas ici. Il reste à examiner la deuxième classe, la plus importante pour notre propos, celle
des équations fluxionnelles de la forme ẏ ẋ = f (x, y).
Pour le piquant de l’anecdote, signalons que Newton, dans la Lettre à Oldenburg pour Leibniz du 3
novembre 1676, a résumé les deux façons de traiter ce problème dans une anagramme :
“5accdæ10effh11i4l3m9n6oqqr8s11t9v3x : 11ab3cdd10eæg10ill4m7n6o3p3q6r5s11t8vx,
3acæ4egh5i4l4m5n8oq4r3s6t4v, aaddæeeeeeiijmmnnooprrrsssssttuu.”
Newton, qui voulait certainement prendre date sans pour autant dévoiler à Leibniz la teneur de sa découverte,
a révélé plus tard, en 1712, la signification de l’anagramme : “Una Methodus consistit in extractione
fluentis quantitatis ex æquatione simul involvente fluxionem ejus : altera tantum in assumptione
Seriei pro quantitate qualibet incognita ex qua cætera commode derivari possunt, & in collatione terminorum
homologorum æquationis resultantis, ad eruendos terminos assumptæ Seriei.” 6
Nous allons étudier ces deux versions de la méthode des séries, telles qu’elles sont exposées, en 1671,
dans La méthode des fluxions. Étant donné qu’il s’agit du premier traité abordant la théorie des équations
différentielles de manière abstraite et générale, indépendamment de tout problème particulier de géométrie
ou de mécanique, il nous semble important d’examiner avec soin les douze équations sélectionnées par
Newton. Cela permettra de mettre en évidence la richesse et les limites du texte fondateur que nous avons
pris comme point de départ historique de l’intégration approchée.
1.1.2. Première version : les approximations successives
Avant de commencer le calcul, les équations doivent être “préparées” : il faut les mettre sous la forme
ẏ ẋ = f (x, y) et développer le second membre en série par rapport à x et à y. Cela consiste essentiellement
à réduire “à une somme de termes simples” les fractions et les racines qui sont initialement présentes.
De plus, lorsque l’un des dénominateurs est égal à x ou y, par exemple à x, il faut le remplacer par
6 “Une méthode consiste à extraire une quantité fluente d’une équation qui contient en même temps sa fluxion ; une autre à
supposer une série pour l’une quelconque des quantités inconnues, de laquelle les autres peuvent être convenablement déduites,
et à rassembler les termes homologues de l’équation résultante, de façon à déterminer les termes de la série supposée.”