fichier pdf - IUFM de l'académie de la Réunion
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60 Chapitre II<br />
nières Lettres surmontées d’un point ˙v, ẋ, ẏ&ż les vitesses dont les Fluentes sont augmentées par le<br />
mouvement qui les produit, & que par conséquent on peut appeler Fluxions.”<br />
Après avoir résolu sans difficulté le “Problème I. Étant donné <strong>la</strong> Re<strong>la</strong>tion <strong>de</strong>s Quantités Fluentes,<br />
trouver <strong>la</strong> Re<strong>la</strong>tion <strong>de</strong> leurs Fluxions.”, c’est-à-dire le problème <strong>de</strong> <strong>la</strong> dérivation, Newton abor<strong>de</strong> le problème<br />
inverse (p. 26) : “Problème II. Étant donnée <strong>la</strong> Re<strong>la</strong>tion <strong>de</strong>s Fluxions, trouver celle <strong>de</strong>s Quantités<br />
Fluentes.” Ce Problème II est divisé en trois sous-problèmes (p. 30) :<br />
“XIII. Mais à l’égard <strong>de</strong> ce Problème nous pouvons distinguer les Équations en trois C<strong>la</strong>sses.<br />
XIV. La première <strong>de</strong>s Équations où il ne se trouve que les <strong>de</strong>ux Fluxions & l’une <strong>de</strong>s Fluentes.<br />
XV. La secon<strong>de</strong> où il se trouve les <strong>de</strong>ux Fluxions & les <strong>de</strong>ux Fluentes.<br />
XVI. La troisième où il se trouve <strong>de</strong>s Fluxions <strong>de</strong> plus <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux Quantités.”<br />
La première c<strong>la</strong>sse comprend les équations <strong>de</strong> <strong>la</strong> forme ẏ ẋ = f (x) (ou ẏ ẋ = g(y), qui se ramène aussitôt<br />
à ẋ ẏ = f (y)). La solution consiste à prendre pour variable indépendante (Newton dit “quantité corré<strong>la</strong>tive”)<br />
<strong>la</strong> seule fluente présente dans l’équation, à développer en série <strong>la</strong> quantité du second membre et<br />
à intégrer terme à terme, ce qui conduit à une expression, en général infinie, <strong>de</strong> <strong>la</strong> variable dépendante (<strong>la</strong><br />
“quantité re<strong>la</strong>tive”). On peut voir là une généralisation audacieuse <strong>de</strong>s résultats acquis auparavant pour<br />
les polynômes. Par ailleurs, <strong>la</strong> troisième c<strong>la</strong>sse englobe toutes les équations aux dérivées partielles ; elle ne<br />
nous intéresse pas ici. Il reste à examiner <strong>la</strong> <strong>de</strong>uxième c<strong>la</strong>sse, <strong>la</strong> plus importante pour notre propos, celle<br />
<strong>de</strong>s équations fluxionnelles <strong>de</strong> <strong>la</strong> forme ẏ ẋ = f (x, y).<br />
Pour le piquant <strong>de</strong> l’anecdote, signalons que Newton, dans <strong>la</strong> Lettre à Ol<strong>de</strong>nburg pour Leibniz du 3<br />
novembre 1676, a résumé les <strong>de</strong>ux façons <strong>de</strong> traiter ce problème dans une anagramme :<br />
“5accdæ10effh11i4l3m9n6oqqr8s11t9v3x : 11ab3cdd10eæg10ill4m7n6o3p3q6r5s11t8vx,<br />
3acæ4egh5i4l4m5n8oq4r3s6t4v, aaddæeeeeeiijmmnnooprrrsssssttuu.”<br />
Newton, qui vou<strong>la</strong>it certainement prendre date sans pour autant dévoiler à Leibniz <strong>la</strong> teneur <strong>de</strong> sa découverte,<br />
a révélé plus tard, en 1712, <strong>la</strong> signification <strong>de</strong> l’anagramme : “Una Methodus consistit in extractione<br />
fluentis quantitatis ex æquatione simul involvente fluxionem ejus : altera tantum in assumptione<br />
Seriei pro quantitate qualibet incognita ex qua cætera commo<strong>de</strong> <strong>de</strong>rivari possunt, & in col<strong>la</strong>tione terminorum<br />
homologorum æquationis resultantis, ad eruendos terminos assumptæ Seriei.” 6<br />
Nous allons étudier ces <strong>de</strong>ux versions <strong>de</strong> <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> <strong>de</strong>s séries, telles qu’elles sont exposées, en 1671,<br />
dans La métho<strong>de</strong> <strong>de</strong>s fluxions. Étant donné qu’il s’agit du premier traité abordant <strong>la</strong> théorie <strong>de</strong>s équations<br />
différentielles <strong>de</strong> manière abstraite et générale, indépendamment <strong>de</strong> tout problème particulier <strong>de</strong> géométrie<br />
ou <strong>de</strong> mécanique, il nous semble important d’examiner avec soin les douze équations sélectionnées par<br />
Newton. Ce<strong>la</strong> permettra <strong>de</strong> mettre en évi<strong>de</strong>nce <strong>la</strong> richesse et les limites du texte fondateur que nous avons<br />
pris comme point <strong>de</strong> départ historique <strong>de</strong> l’intégration approchée.<br />
1.1.2. Première version : les approximations successives<br />
Avant <strong>de</strong> commencer le calcul, les équations doivent être “préparées” : il faut les mettre sous <strong>la</strong> forme<br />
ẏ ẋ = f (x, y) et développer le second membre en série par rapport à x et à y. Ce<strong>la</strong> consiste essentiellement<br />
à réduire “à une somme <strong>de</strong> termes simples” les fractions et les racines qui sont initialement présentes.<br />
De plus, lorsque l’un <strong>de</strong>s dénominateurs est égal à x ou y, par exemple à x, il faut le remp<strong>la</strong>cer par<br />
6 “Une métho<strong>de</strong> consiste à extraire une quantité fluente d’une équation qui contient en même temps sa fluxion ; une autre à<br />
supposer une série pour l’une quelconque <strong>de</strong>s quantités inconnues, <strong>de</strong> <strong>la</strong>quelle les autres peuvent être convenablement déduites,<br />
et à rassembler les termes homologues <strong>de</strong> l’équation résultante, <strong>de</strong> façon à déterminer les termes <strong>de</strong> <strong>la</strong> série supposée.”