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90 Chapitre II
erreur relative inférieure à 1%. La précision est remarquable. On peut l’expliquer par la compensation
maîtrisée de deux erreurs volontaires. En effet, les hypothèses simplificatrices faites sur l’équation différentielle
(– v ≤ 0 et 1 − ( 1 − 1 q) 3 2
≥ 3q 2 ) conduisent, toutes deux, à majorer le second membre, donc la dérivée
dv dx , donc enfin la valeur de v. Inversement, après l’intégration en série, en ne gardant que le premier
terme, on néglige un ensemble de termes dont la somme est positive, ce qui diminue la valeur de v.
Le bilan de ce calcul est, selon nous, extrêmement significatif. L’équation différentielle (1) est
linéaire ; pourtant, Euler ne l’intègre pas par quadratures. Il n’a pas non plus recours à la méthode directe
d’intégration par séries, dans la version des coefficients indéterminés, dont il fait un usage quasi constant
dans ses écrits mathématiques. Il préfère une approche plus intuitive qui, en gros, ressemble à la technique
des approximations successives de Newton (cf. 1.1.2). En effet, ce qu’a fait Euler pourrait être présenté
ainsi : 1) on prend comme première valeur approchée la valeur initiale v 0
= 0 ; 2) on développe en série le
second membre et on ne conserve que le terme “prépondérant”, ce qui conduit à l’équation
dv
dx = 2β mh
(m + (α − 1)n) x ; 3) en intégrant, on obtient la nouvelle valeur approchée v = 2β mh
1
m + (α − 1)n l α x
b ,
qui n’est autre que celle du texte. On pourrait poursuivre le processus…
Dans la suite du texte, le problème est repris avec, désormais, la présence d’un boulet à l’intérieur du
canon. Le traitement est tout à fait analogue. Euler calcule, sous diverses hypothèses, la vitesse initiale du
boulet à la sortie du canon, et discute ces hypothèses à la lumière de résultats expérimentaux.
2.2.2. Un problème de balistique extérieure
Après avoir résolu le problème fondamental de la balistique intérieure, c’est-à-dire l’estimation de la
vitesse initiale du boulet, Euler s’intéresse, plus loin dans le traité, à la détermination du mouvement du
boulet dans l’air après la sortie du canon. Dans une partie du second chapitre (pp. 368-380), il envisage le
cas du mouvement vertical varié, une situation qui avait déjà été traitée par Newton sous forme géométrique
(cf. chap. I).
A
Le boulet sort du canon au point E, avec la vitesse initiale b . Il s’élève jusqu’au
point A, en lequel sa vitesse est nulle, puis redescend. Euler prend le point A comme
origine et pose AE = a. Le boulet passe par le point P tel que AP = z à deux instants t,
lors du mouvement ascendant avec la vitesse v et lors du mouvement descendant
avec la vitesse u .
P
p
E
Fig. II. 5
Les équations différentielles du mouvement ascendant et du mouvement descendant
sont respectivement :
(1)
(2)
⎧4nchdv = 4ngchdz + 3hvdz + 3vvdz
⎪
⎨
dt =−
⎩⎪
dz v ;
⎧4nchdu = 4ngchdz − 3hudz − 3uudz
⎪
⎨
dt =
⎩⎪
dz u .
Dans ces équations, c est le diamètre du boulet, n la densité du boulet (par rapport à l’air), h la pression
de l’air et g = 1 − 1 n un coefficient qui prend en compte la diminution de la gravité due à la poussée d’Archimède.
Dans la première équation de chacun des systèmes (1) et (2), le premier terme du second
membre traduit la gravité, les deux autres termes la résistance de l’air. Dans le mouvement ascendant, la