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94 Chapitre II
En se plaçant dans le cas d’une équation d’ordre n, Lacroix commence par la méthode de la série de
Taylor. La formulation en est extrêmement concise (p. 409) :
“On a d’abord pour cela la formule
y = A + A 1
x − a
1
+ A 2
(x − a) 2
1.2
(x − a) n−1
+ L + A n−1
1.2 K (n − 1) + f (a, A, A (x − a)n
1, K, A n−1
)
1.2 K n + etc.,
qui donne le développement de y, suivant les puissances de x – a, relatif à l’équation différentielle
quelconque
d n y
dx n = f
⎛ dy
x, y,
dx , d 2 y
dx , K, d n−1 y⎞
⎜
⎟ ,
⎝
2 dx n−1 ⎠
et dans lequel les valeurs des fonctions y, dy
dx , d 2 y
dx , K, d n−1 y
2 n−1
, lorsque x = a, sont les constantes arbitraires
A, A 1
dx
, K, A n−1
. Cette série peut toujours être rendue convergente, en n’assignant à x que des
valeurs très peu différentes de a.”
On peut relever la ferme conviction que la série est toujours convergente, au moins dans un voisinage
du point initial. Il est difficile de se prononcer sur une telle affirmation en l’absence, dans le passage cité,
de toute hypothèse sur la fonction f. Il faut remonter beaucoup plus haut dans le traité pour trouver des
précisions sur le contexte. Selon Lacroix, tant que la fonction f demeure réelle et finie, le développement
en série de Taylor peut être effectué et, par suite, l’équation admet certainement une solution (p. 294) :
“Une remarque importante qui s’offre ici d’elle-même, c’est que lorsque la fonction désignée par la
lettre f, et déduite de l’équation différentielle proposée, ne sera point imaginaire, c’est-à-dire, si cette
équation conduit à des valeurs réelles pour le coefficient différentiel de l’ordre n, il existera toujours un
développement de la fonction déterminée par cette même équation qui, d’après cela, ne tombera jamais
dans une impossibilité absolue, quoiqu’il puisse arriver qu’on n’ait aucun moyen de l’intégrer, ni même
d’en tirer des approximations praticables. Cette propriété qui est particulière aux équations différentielles
à deux variables, peut aussi s’établir par des considérations géométriques, comme on le verra dans la
suite.”
Ainsi, la possibilité de calculer formellement un développement de Taylor suffit à justifier l’existence
d’une intégrale ; rien n’est là pour prouver la convergence de la série. Dans la dernière phrase du texte,
Lacroix évoque une autre façon de prouver l’existence, par le recours à la méthode polygonale de Leibniz
(cf. chap. III, 3.1.1). Cette seconde méthode nous apparaît aujourd’hui comme tout aussi insuffisante que
la première. Cependant, le fait même d’imaginer qu’une équation pourrait, éventuellement, “tomber dans
une impossibilité absolue”, est incontestablement une nouveauté. Euler et ses prédécesseurs n’avaient
jamais évoqué explicitement le problème de l’existence. Il est vraisemblable que ce problème ne prend
corps que vers la fin du 18 e siècle, à l’époque de Lacroix, lorsqu’on se convainc définitivement que certaines
équations ne pourront jamais être intégrées par quadratures.
Vient ensuite la seconde technique classique, présentée, à juste titre, comme la plus ancienne (p. 411) :
“Les premiers analystes qui se sont occupés de l’intégration approximative des équations différentielles,
avaient recours à la méthode des coefficients indéterminés (…).” La méthode est illustrée sur des équations
linéaires du premier et du second ordre qui sont, pour l’essentiel, des exemples empruntés à Euler. À
l’issue de ces calculs (p. 426), Lacroix constate que, “dans tous les exemples précédents, la loi des exposants
de la série a été aperçue aisément, mais il n’en est pas toujours ainsi, lorsque l’équation différentielle
proposée passe le premier degré.” Par ces mots, Lacroix fait apparaître au grand jour ce qui était