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100 Chapitre II
verte des fractions continues dans les œuvres de deux mathématiciens de Bologne, plus précisément dans
l’Algebra de Rafael Bombelli, qui a connu deux éditions en 1572 et 1579, et dans un petit livre de Pietro
Antonio Cataldi, publié en 1613. Malgré tout, il faut attendre 1655 pour que Brouncker écrive explicitement
le premier développement en fraction continue d’un nombre, celui de 4 π . Peu après, Wallis trouve
les formules de récurrence qui définissent les réduites, Huygens étudie les propriétés de ces réduites et, au
début du 18 e siècle, Cotes découvre un développement du nombre e.
Le premier exposé systématique de la théorie est réalisé par Euler, en 1737 59 . Euler montre notamment
comment passer de l’expression d’un nombre en fraction continue à son expression en série, et
inversement. Si b 0
+ a 1
+ a 2
+ L + a n
⎛ A
+ L est une fraction continue infinie et n ⎞
⎜ ⎟ la suite de ses
b 1
b 2
b n
⎝ B n
⎠
réduites, on a
b 0
+ a 1
+ a 2
+ L + a n
+ L = b
b 1
b 2
b 0
+ a 1
− a a 1 2
+ a a a 1 2 3
− a a a a 1 2 3 4
a
+ L + (−1) n−1 1
a 2
Ka n
+ L.
n
B 1
B 1
B 2
B 2
B 3
B 3
B 4
B n−1
B n
Dans l’autre sens, on peut écrire
c 1
− c 2
+ c 3
− c 4
+ L + (−1) n−1 c n
+ L = c 1
1 + c 2
c 1
− c 2
+ c 1 c 3
c 2
− c 3
+ c 2 c 4
c 3
− c 4
+ L +
c n−2 c n
c n−1
− c n
+ L.
Dans divers mémoires, Lagrange approfondit, à partir de 1767, les résultats d’Euler. En particulier, il
montre les avantages, par rapport à la méthode de Newton-Raphson, de l’utilisation des fractions continues
dans l’approximation d’une racine d’une équation algébrique 60 : les réduites successives donnent
alternativement des valeurs approchées par défaut et par excès, la racine est rationnelle si et seulement si
le processus s’arrête au bout d’un nombre fini d’opérations et, dans le cas où la racine est irrationnelle, on
dispose, à chaque étape, d’une estimation fine de l’erreur commise.
Depuis toujours, l’attrait des mathématiciens pour les fractions continues vient du fait que, en un certain
sens, elles fournissent les approximations rationnelles optimales d’un nombre réel. Dans la lignée des
premiers succès obtenus en arithmétique et en calcul numérique, il était naturel de vouloir également les
utiliser — à la place des séries — dans la résolution approchée des équations différentielles.
3.2.2. Emploi des fractions continues par Lagrange
En 1776, peu après ses recherches sur la résolution approchée des équations algébriques, Lagrange
publie un mémoire intitulé “Sur l’usage des fractions continues dans le calcul intégral” 61 . De même qu’il
avait mis en évidence, pour un nombre, les avantages d’un développement en fraction continue sur un
développement décimal, il se propose de montrer, cette fois pour une fonction, l’intérêt que peut présenter
un développement en fraction continue par rapport à un développement en série (p. 301) :
“On connaît depuis longtemps la méthode des séries pour intégrer par approximation les équations
différentielles dont l’intégrale finie est impossible, ou du moins très difficile à trouver ; mais cette méthode
a l’inconvénient de donner des suites infinies lors même que ces suites peuvent être représentées
par des expressions rationnelles finies. La méthode des fractions continues a tous les avantages de celle
59 “De fractionibus continuis dissertatio”, Commentarii academiæ scientiarum Petropolitanæ, 9, 1744 (1737), pp. 98-137 ;
Euler reprendra ce thème dans l’Introductio in Analysin infinitorum, Lausanne, 1748 ; Introduction à l’analyse infinitésimale,
trad. de J.-B. Labey, Paris, 1796, pp. 277-304.
60 “Sur la résolution des équations numériques”, Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, t. 23,
1769 ; Œuvres, t. 2, Gauthier-Villars, Paris, 1868, pp. 539-578.
61 Nouveaux mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, 1776 ; Œuvres, t. 4, 1869, pp. 301-332.