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72 Chapitre II
1.2.3. Bilan sur la méthode des séries de 1691
La méthode des séries de 1691, celle de la maturité, consiste en un perfectionnement de la méthode des
approximations successives de 1671. La principale nouveauté est un algorithme qui, en dépit de ses insuffisances,
se veut un moyen systématique pour déterminer les termes successifs de la série. Si Newton a
abandonné la méthode des coefficients indéterminés, c’est sans doute à cause de son caractère trop restrictif
: en effet, cette dernière ne peut réussir que si l’on connaît d’avance la loi de progression des exposants
et le premier de ces exposants. Par opposition, la méthode de 1691 présente l’avantage d’être universelle.
Elle permet de résoudre en série toute équation fluxionnelle de la forme f (z, y, ẏ, ˙ẏ, ˙˙ẏ, ˙˙ ˙ẏ, K) = 0.
Remarquons que Newton envisage désormais des équations de n’importe quel ordre alors que, en 1671, il
n’avait résolu que des équations du premier ordre. De plus, il insiste sur le fait que la méthode s’applique
aussi lorsqu’il n’y a aucune fluxion, c’est-à-dire aux équations de la forme f (z, y) = 0. Une remarquable
unité théorique est réalisée entre toutes les équations faisant intervenir deux quantités : une seule et même
technique permet, dans tous les cas connus, d’extraire l’une des quantités en fonction de l’autre sous la
forme d’une série potentiellement infinie.
Nous terminerons en relevant quelques conséquences importantes tirées de la Proposition XII : “Ubi
quantitas y ex æquatione resolvenda extrahitur, ejus fluxiones ẏ, ˙ẏ, ˙˙˙ y,&c simul prodeunt. (…) Hinc vero
si series prodit hujus formæ y = az + bz 2 + cz 3 + dz 4 + ez 5 + &c. (…) fluxiones ipsius y, ubi z evanescit,
habentur ponendo ẏ ż = a, ˙ẏ ż 2 = 2b, ˙˙˙ y ż 3 = 6c, ˙˙ ˙ẏ ż 4 = 24d, ˙˙˙ ˙ẏ ż 5 = 120e, &c. (…) Et hinc si in
æquatione resolvenda scribatur w + x pro z ut in casu tertio et resolvendo æquationem prodeat series
ex + fxx+ gx 3 + hx 4 + &c., fluxiones ipsius y ex assumpta utcumque magnitudine ipsius z habebuntur in
æquationibus finitis ponendo x = 0 et w = z. Nam tales erunt æquationes ẏ ż = e, ˙ẏ ż 2 = 2 f, ˙˙˙ y ż 3 = 6g,
˙˙ ˙ẏ ż 4 = 24h, &c. per Corollarium superius collectæ.” 23
Ainsi, on assiste à la découverte de la formule de Taylor, à la fois au voisinage de l’origine et au voisinage
d’un point quelconque, et cela plus de vingt ans avant Taylor (cf. 1.4.1). Toutefois, aucun usage n’est
fait de cette formule. En particulier, elle n’est pas exploitée pour l’intégration des équations fluxionnelles.
À ce propos, Newton dit seulement que, si l’on a pu extraire une quantité y sous forme de série entière,
alors les coefficients de cette série peuvent servir au calcul des fluxions de y. Mais, ne pensant pas à
raisonner dans l’autre sens, il ne réalise pas que, si l’on pouvait calculer les fluxions de y à partir de
l’équation fluxionnelle et des conditions initiales, alors on pourrait en déduire le développement en série
entière de la quantité inconnue y. Bien que parvenu tout près du but, Newton ne sera pas le créateur de la
méthode de la série de Taylor pour l’intégration des équations différentielles. Il faudra attendre Bernoulli
(cf. 1.3.3) et Taylor (cf. 1.4.1).
1.3. L’emploi des séries par Leibniz et Jean Bernoulli
Venons-en aux recherches continentales. Nous savons déjà (cf. chap. I) que Leibniz s’est intéressé au
problème inverse des tangentes à partir de 1673 et que, quelques années plus tard, il employait les séries
23 “Quand la quantité y est extraite de l’équation à résoudre, ses fluxions ẏ, ˙ẏ, ˙˙˙ y,&c. en résultent en même temps. (…) Donc
si la série s’avère être de la forme y = az + bz 2 + cz 3 + dz 4 + ez 5 + & c., on obtient les fluxions de y, lorsque z s’évanouit, en
posant ẏ ż = a, ˙ẏ ż 2 = 2b, ˙˙˙ y ż 3 = 6c, ˙˙ ˙ẏ ż 4 = 24d, ˙˙˙ ˙ẏ ż5 = 120e, &c. (…) Et donc, si dans l’équation à résoudre on écrit
w + x à la place de z, comme dans le troisième cas, et si de la résolution de l’équation provient une série
ex + fxx+ gx 3 + hx 4 + & c., les fluxions de y pour toute valeur supposée de z seront obtenues en équations finies en posant
x = 0 et z = w. De fait, ces équations seront ẏ ż = e, ˙ẏ ż 2 = 2 f, ˙˙˙ y ż 3 = 6g, ˙˙ ˙ẏ ż 4 = 24h, &c. d’après le Corollaire
précédent.”