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74 Chapitre II
qu’il ne peut pas faire autrement, qu’il envisage des équations infinies, puis des séries infinies. Par rapport
au géomètre anglais, l’ordre de priorité est inversé.
Dans le même article, Leibniz suggère que sa méthode, convenablement généralisée, pourrait permettre
d’identifier aussi les solutions en termes finis faisant intervenir des logarithmes, des arcs circulaires,
voire des transcendantes plus complexes. Il faudrait, par exemple, chercher l’équation de la courbe
sous la forme f (x, y, v) = 0, avec une troisième lettre v symbolisant une quantité transcendante supplémentaire
; de même, il faudrait introduire d’autres lettres si plusieurs transcendantes s’avéraient nécessaires
à l’intégration. La méthode est prometteuse mais le texte, bien vague, sans exemple, ne permet pas
de s’en faire une idée précise. D’ailleurs, Leibniz lui-même, dans un article ultérieur 25 , avoue que cette
technique n’est pas vraiment au point :
“La question de savoir si on peut réaliser une quadrature grâce à la courbe logarithmique, ou même à
des mesures de coniques, relève d’un autre type d’analyse que je distingue de la méthode inverse des
tangentes. Je reconnais avoir en ce domaine proposé entre autres d’utiliser l’équation générale d’une
courbe indéfinie a + bx + cy etc. et il me semble, pour l’avoir constaté en la mettant en pratique sur des
exemples, que les ressources qu’on peut en tirer ne sont pas négligeables. Mais il faudrait encore y
travailler et y introduire des simplifications.”
Après ces diverses tentatives pour intégrer en termes finis, algébriques ou transcendants, Leibniz en
vient à explorer, à son tour, la méthode des séries infinies. Cette dernière méthode apparaît tardivement
dans ses publications scientifiques (nous ne parlons pas ici de sa correspondance). Il va s’inspirer naturellement
de la méthode des coefficients indéterminés, qu’il avait tout d’abord mise au point, comme nous
l’avons vu ci-dessus, pour la recherche d’équations finies.
1.3.2. La méthode des coefficients indéterminés
La méthode des séries, dans la version des coefficients indéterminés, est publiée dans un article
de 1693 26 , dont voici l’introduction :
“Alors qu’autrefois les moyens employés pour trouver des Séries infinies ont été, suivant l’exemple de
leur inventeur Nicolas Mercator du Holstein, les divisions et, selon l’exemple du Grand Géomètre Isaac
Newton, les extractions, il m’a semblé qu’on pouvait les obtenir plus aisément et de manière plus universelle
en supposant connue la série recherchée, de telle sorte que les coefficients des termes qu’elle comporte
soient déterminés progressivement. Une propriété de la courbe étant donnée, que ce soit par une
formule du calcul ordinaire, de calcul intégral, différentiel ou différentio-différentiel même très complexe,
on peut toujours aboutir à une série exprimant ce qu’on cherche, exactement, si on considère la série tout
entière, par une approximation aussi précise qu’on veut, si on en prend une partie.”
La dernière phrase est, pour nous, extrêmement intéressante. Leibniz définit clairement les deux
usages que l’on peut faire des séries dans les problèmes d’intégration : on peut réaliser une intégration
exacte (ce que nous avons appelé intégration approchée analytique), quand on considère la série tout
entière, ou une intégration approchée numérique, si l’on se contente des premiers termes. Newton, travaillant
pour les sciences naturelles, s’en tenait, plus ou moins, à la seconde interprétation. Leibniz, qui se
25 “Constructio propria problematis de curva isochrona paracentrica…”, Acta Eruditorum, août 1694 ; Mathematische
Schriften, t. 5, pp. 309-318.
26 “Supplementum geometriæ practicæ sese ad problemata transcendentia extendens, ope novæ methodi generalissimæ per
series infinitas”, Acta Eruditorum, avril 1693 ; Mathematische Schriften, t. 5, pp. 285-288.