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fichier pdf - IUFM de l'académie de la Réunion

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74 Chapitre II<br />

qu’il ne peut pas faire autrement, qu’il envisage <strong>de</strong>s équations infinies, puis <strong>de</strong>s séries infinies. Par rapport<br />

au géomètre ang<strong>la</strong>is, l’ordre <strong>de</strong> priorité est inversé.<br />

Dans le même article, Leibniz suggère que sa métho<strong>de</strong>, convenablement généralisée, pourrait permettre<br />

d’i<strong>de</strong>ntifier aussi les solutions en termes finis faisant intervenir <strong>de</strong>s logarithmes, <strong>de</strong>s arcs circu<strong>la</strong>ires,<br />

voire <strong>de</strong>s transcendantes plus complexes. Il faudrait, par exemple, chercher l’équation <strong>de</strong> <strong>la</strong> courbe<br />

sous <strong>la</strong> forme f (x, y, v) = 0, avec une troisième lettre v symbolisant une quantité transcendante supplémentaire<br />

; <strong>de</strong> même, il faudrait introduire d’autres lettres si plusieurs transcendantes s’avéraient nécessaires<br />

à l’intégration. La métho<strong>de</strong> est prometteuse mais le texte, bien vague, sans exemple, ne permet pas<br />

<strong>de</strong> s’en faire une idée précise. D’ailleurs, Leibniz lui-même, dans un article ultérieur 25 , avoue que cette<br />

technique n’est pas vraiment au point :<br />

“La question <strong>de</strong> savoir si on peut réaliser une quadrature grâce à <strong>la</strong> courbe logarithmique, ou même à<br />

<strong>de</strong>s mesures <strong>de</strong> coniques, relève d’un autre type d’analyse que je distingue <strong>de</strong> <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> inverse <strong>de</strong>s<br />

tangentes. Je reconnais avoir en ce domaine proposé entre autres d’utiliser l’équation générale d’une<br />

courbe indéfinie a + bx + cy etc. et il me semble, pour l’avoir constaté en <strong>la</strong> mettant en pratique sur <strong>de</strong>s<br />

exemples, que les ressources qu’on peut en tirer ne sont pas négligeables. Mais il faudrait encore y<br />

travailler et y introduire <strong>de</strong>s simplifications.”<br />

Après ces diverses tentatives pour intégrer en termes finis, algébriques ou transcendants, Leibniz en<br />

vient à explorer, à son tour, <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> <strong>de</strong>s séries infinies. Cette <strong>de</strong>rnière métho<strong>de</strong> apparaît tardivement<br />

dans ses publications scientifiques (nous ne parlons pas ici <strong>de</strong> sa correspondance). Il va s’inspirer naturellement<br />

<strong>de</strong> <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> <strong>de</strong>s coefficients indéterminés, qu’il avait tout d’abord mise au point, comme nous<br />

l’avons vu ci-<strong>de</strong>ssus, pour <strong>la</strong> recherche d’équations finies.<br />

1.3.2. La métho<strong>de</strong> <strong>de</strong>s coefficients indéterminés<br />

La métho<strong>de</strong> <strong>de</strong>s séries, dans <strong>la</strong> version <strong>de</strong>s coefficients indéterminés, est publiée dans un article<br />

<strong>de</strong> 1693 26 , dont voici l’introduction :<br />

“Alors qu’autrefois les moyens employés pour trouver <strong>de</strong>s Séries infinies ont été, suivant l’exemple <strong>de</strong><br />

leur inventeur Nico<strong>la</strong>s Mercator du Holstein, les divisions et, selon l’exemple du Grand Géomètre Isaac<br />

Newton, les extractions, il m’a semblé qu’on pouvait les obtenir plus aisément et <strong>de</strong> manière plus universelle<br />

en supposant connue <strong>la</strong> série recherchée, <strong>de</strong> telle sorte que les coefficients <strong>de</strong>s termes qu’elle comporte<br />

soient déterminés progressivement. Une propriété <strong>de</strong> <strong>la</strong> courbe étant donnée, que ce soit par une<br />

formule du calcul ordinaire, <strong>de</strong> calcul intégral, différentiel ou différentio-différentiel même très complexe,<br />

on peut toujours aboutir à une série exprimant ce qu’on cherche, exactement, si on considère <strong>la</strong> série tout<br />

entière, par une approximation aussi précise qu’on veut, si on en prend une partie.”<br />

La <strong>de</strong>rnière phrase est, pour nous, extrêmement intéressante. Leibniz définit c<strong>la</strong>irement les <strong>de</strong>ux<br />

usages que l’on peut faire <strong>de</strong>s séries dans les problèmes d’intégration : on peut réaliser une intégration<br />

exacte (ce que nous avons appelé intégration approchée analytique), quand on considère <strong>la</strong> série tout<br />

entière, ou une intégration approchée numérique, si l’on se contente <strong>de</strong>s premiers termes. Newton, travail<strong>la</strong>nt<br />

pour les sciences naturelles, s’en tenait, plus ou moins, à <strong>la</strong> secon<strong>de</strong> interprétation. Leibniz, qui se<br />

25 “Constructio propria problematis <strong>de</strong> curva isochrona paracentrica…”, Acta Eruditorum, août 1694 ; Mathematische<br />

Schriften, t. 5, pp. 309-318.<br />

26 “Supplementum geometriæ practicæ sese ad problemata transcen<strong>de</strong>ntia exten<strong>de</strong>ns, ope novæ methodi generalissimæ per<br />

series infinitas”, Acta Eruditorum, avril 1693 ; Mathematische Schriften, t. 5, pp. 285-288.

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