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98 Chapitre II
on puisse expliquer les inégalités que ces deux Planètes paraissent se causer mutuellement, principalement
vers le temps de leur conjonction”. Plus tard, Laplace commenta le travail d’Euler en ces termes 55 :
“C’est à la première pièce d’Euler sur les mouvements de Jupiter et de Saturne qu’il faut rapporter
les premières recherches sur les perturbations des mouvements planétaires. Cette pièce, couronnée par
l’Académie des Sciences en 1748, fut remise au Secrétariat de cette Académie le 27 juillet 1747, quelques
mois avant que Clairaut et d’Alembert communiquassent à l’Académie les recherches analogues qu’ils
avaient faites sur le problème des trois corps, qu’ils nommèrent ainsi parce qu’ils avaient appliqué leurs
solutions au mouvement de la Lune attirée par le Soleil et par la Terre. Mais les différences de leurs
méthodes à celles d’Euler prouvent qu’ils n’avaient rien emprunté de sa pièce. (…)
Euler considère d’abord les perturbations indépendantes des excentricités et des inclinaisons. Pour
cela, il développe les forces perturbatrices en sinus et cosinus d’angles croissant comme le temps.”
Alors que les solutions de Clairaut et de d’Alembert pour le problème des trois corps s’apparentent à
des approximations successives (cf. chap. IV, 1.1.1 et 1.1.2), Euler procède, en gros, à une intégration
directe. Dans la lignée du mémoire de l’année précédente, que nous avons commenté ci-dessus, il cherche
les solutions sous forme de séries trigonométriques selon la méthode des coefficients indéterminés. Pour
faciliter le travail, il suppose que le mouvement de Jupiter suit exactement les lois de Kepler et se propose
de déterminer les dérangements de celui de Saturne. En outre, afin de décomposer la difficulté, il procède
en quatre étapes : 1) il fait l’hypothèse que les deux orbites sont circulaires et situées dans un même plan ;
2) il introduit l’excentricité de l’orbite de Saturne ; 3) il introduit l’excentricité de l’orbite de Jupiter ; 4) il
prend enfin en compte l’inclinaison mutuelle des deux orbites. Les cent pages du mémoire sont une suite
de calculs extraordinairement complexes, mais découlant d’une seule idée initiale : le développement des
solutions en séries trigonométriques. Pour mettre cette idée en évidence, il suffira de décrire les grandes
lignes de la première étape.
Dans le cas des orbites circulaires et coplanaires, après diverses hypothèses simplificatrices complémentaires,
Euler aboutit à la détermination du mouvement perturbé de Saturne par un système de deux
équations différentielles du second ordre. En dernière analyse, ce système se présente sous la forme
(1)
⎧ d 2 r
2
= F ⎛ dx
ω, r, ⎞
⎪ dω ⎝ dω ⎠
⎨
d 2 x dr
2
= G ⎛ω, ⎞
⎩⎪
dω ⎝ dω ⎠ .
La difficulté provient de ce que les seconds membres contiennent chacun un terme affecté du facteur
(1 − gcosω) −32 et que le développement habituel de ces termes engendre des séries trop lentement convergentes
car la valeur de g est environ 4 5. Euler se propose alors de chercher un développement en série
trigonométrique pour l’expression plus générale (1 − gcosω) −µ . L’année précédente, il avait seulement
traité le cas µ = 1, dans lequel se produisaient des simplifications remarquables. Pour un exposant µ quelconque,
la linéarisation des puissances du cosinus et l’identification à partir des égalités
(1 − gcosω) −µ = 1 + µ µ(µ + 1)
gcosω + g 2 cos 2 µ(µ + 1)(µ + 2)
ω + g 3 cos 3 ω + etc.
1 1.2
1.2.3
= A + Bcosω + C cos2ω + Dcos3ω + etc.
définit chacun des coefficients par une série infinie dont la somme ne se laisse pas calculer. Euler s’en sort
autrement en considérant la quantité s = (1 − gcosω) −µ comme fonction de ω et en construisant une équa-
55 Traité de mécanique céleste, t. 5, Bachelier, Paris, 1825, p. 339.