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84 Chapitre II
aliam methodum particularem exponam, cuius ope eaedem aequationes integrales erui queant.” 39 La
seconde méthode évoquée est celle des séries. Plutôt que l’intégration directe, aujourd’hui accessible à un
bon étudiant de première année, Euler semble signifier que c’est l’intégration indirecte, par l’intermédiaire
des séries, qui est familière à ses contemporains pour ce type d’équation.
Dans cette seconde démarche, le sinus est développé en série et l’intégrale est cherchée par la méthode
des coefficients indéterminés. Après identification et détermination des coefficients, Euler, avec son habileté
coutumière, regroupe les termes de la série en quatre paquets afin de “reconnaître” l’expression
s = α cos.A
t
t
+ β 2ab sin.A
2ab 2ab + ab 2ab
g(a − 2b) sin.A
t
2ab − a 2 b
g(a − 2b) sin.A t a ,
qui, dépendant de deux constantes arbitraires, fournit bien la solution générale de l’équation (1).
Nous retrouvons là l’un des usages classiques des séries, depuis Newton et surtout Leibniz : l’obtention
d’intégrales sous forme finie. Dans la suite, nous allons voir comment cette façon d’employer les
séries a été renouvelée et élargie par Euler.
2.1.3. Un mémoire sur l’équation de Riccati (1733)
En 1733 40 , Euler aborde à son tour l’équation
(1) ax n dx = dy + y 2 dx,
qui avait déjà suscité beaucoup d’intérêt chez les géomètres. Reprenant l’idée de Jacques Bernoulli, il
pose y = dt tdx pour se ramener à l’équation du second ordre ax n tdx 2 = ddt . Il cherche ensuite t sous la
forme d’une série 1 + x n+2 + x 2n+4 + x 3n+6 + etc. et trouve facilement
(2) t = 1 +
ax n+2
(n + 1)(n + 2) + a 2 x 2n+4
(n + 1)(n + 2)(2n + 3)(2n + 4) + a 3 x 3n+6
(n + 1)(n + 2)(2n + 3)(2n + 4)(3n + 5)(3n + 6) + etc.
À partir de là, Euler se démarque de ses prédécesseurs. Depuis les travaux de Jacques Bernoulli,
l’expression de la solution y de l’équation (1) comme quotient de deux séries ne semblait pas satisfaisante
car, si les séries représentant dt dx et t sont parfaitement définies, il n’en va pas de même de la série
quotient : la loi de formation de son terme général ne se laisse pas deviner. On peut raisonnablement
penser que c’est l’échec des tentatives pour calculer explicitement la série quotient qui a poussé Euler à
s’engager dans une autre voie. Peu de temps auparavant, il avait mené des recherches sur la rectification
de l’ellipse 41 . Par une intégration terme à terme, il avait exprimé la longueur du quart d’ellipse sous forme
de série par rapport à l’excentricité de l’ellipse. En cherchant une équation différentielle vérifiée par cette
série, il avait été conduit à une équation linéaire du second ordre, puis à une équation de Riccati particulière.
Dans le mémoire qui nous occupe, il a l’idée de raisonner dans l’autre sens. Après avoir transformé
l’équation de Riccati (1), ainsi que nous l’avons vu, en équation linéaire du second ordre et après avoir
obtenu la série (2), il cherche à faire apparaître cette série comme le résultat de l’intégration terme à terme
d’une intégrale définie dépendant d’un paramètre. Pour cela, il introduit une série dépendant de plusieurs
constantes arbitraires, dont la forme généralise celle rencontrée dans la rectification du quart d’ellipse, et
39 “Comme ces intégrations sont tout à fait inhabituelles et, à cause de cela, ne sont pas faciles à trouver pour n’importe qui,
je vais exposer une autre méthode particulière, grâce à laquelle des équations intégrales peuvent être découvertes.”
40 “Constructio æquationis differentialis ax n dx = dy + y 2 dx ”, Commentarii academiæ scientiarum Petropolitanæ, 6, 1738
(1732/3), pp. 124-137 ; Opera omnia, s. 1, vol. 22, pp. 19-35.
41 “Specimen de constructione æquationum differentialium sine indeterminatarum separatione”, Commentarii academiæ scientiarum
Petropolitanæ, 6, 1738 (1732/3), pp. 168-174 ; Opera omnia, s. 1, vol. 20, pp. 1-7.