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92 Chapitre II
Dans la pratique, ce n’est pas l’altitude qui est facile à mesurer, mais le temps. Ce n’est donc pas la
formule précédente qui est utile, mais la formule réciproque, celle qui donne l’altitude en fonction du
temps. Par la classique méthode du “retour des suites”, Euler aboutit à la série
a = t 4 − t 5
2 15 .3.5m 2 h + t 7
2 2 17 .3.7m 2 h + t 9
3 2 29 .3.5m 4 h + t 9
4 2 21 .5.9m 2 h − etc. 4
Cette formule finale lui permet de mettre au point une sorte de protocole expérimental : 1) on mesure
le temps qui sépare l’instant du tir de la retombée du boulet sur le sol ; 2) on calcule l’altitude atteinte par
le boulet ; 3) on en déduit la vitesse initiale du boulet. Le but est de comparer cette mesure indirecte de la
vitesse initiale à la valeur qui avait été obtenue tout autrement, par l’étude du mouvement du boulet à
l’intérieur du canon. Il apparaît que la vitesse initiale réelle est plus faible que celle que laissait prévoir la
balistique intérieure…
Nous laisserons Euler seul face à cette divergence qui ne nous concerne pas. Retenons simplement
que, dans le traitement concret des équations différentielles de la mécanique, il applique à la lettre les
techniques exposées dans La méthode des fluxions de Newton. En effet, Euler combine la méthode des
approximations successives pour l’obtention du premier terme de la série et la méthode des coefficients
indéterminés pour les suivants. En outre, il se contente d’extraire quelques termes de la série, en fonction
de la précision requise par le calcul pratique, sans chercher à définir le terme général. Enfin, il manifeste
une grande aisance dans les opérations sur les séries (composition, réciproque…).
2.3. L’héritage eulérien
2.3.1. Deux façons très différentes d’utiliser les séries
En guise de bilan, nous sommes tenté de dire qu’Euler, sans apporter d’idée véritablement nouvelle,
développe jusqu’à leurs ultimes possibilités les techniques imaginées à la fin du siècle précédent par
Newton et Leibniz.
Dans ses œuvres mathématiques, Euler se situe directement dans la filiation de Leibniz et de Jean Bernoulli.
Les séries, utilisées dans le but de réussir des intégrations exactes, doivent être entièrement définies,
avec des formules explicites pour le terme général. Pour cela, la méthode des coefficients indéterminés
est la seule utilisée car elle permet de trouver directement des relations de récurrence entre les termes
successifs. Toutefois, cette contrainte d’une définition complète ne peut être satisfaite que pour des équations
très particulières : on voit donc Euler, tout au long de sa vie, se limiter aux équations linéaires du
second ordre et aux équations qui leur sont intimement liées, à savoir les équations de Riccati. Le plus
souvent, les séries ne servent d’ailleurs pas à l’expression finale de la solution, mais jouent le rôle d’expressions
infinies transitoires, d’intermédiaires de calcul, permettant de réaliser une intégration par quadratures,
soit au sens traditionnel, soit en des sens élargis (par l’utilisation d’intégrales définies dépendant
d’un paramètre ou par l’introduction de nouvelles transcendantes). Le but de toutes ces recherches n’est
pas le calcul numérique (ou, du moins, pas directement) ; le but est purement théorique : il s’agit de réaliser
des intégrations approchées analytiques telles que nous les concevons, c’est-à-dire des intégrations
exactes idéales.
Dans ses recherches physiques, Euler s’inspire, au contraire, de Newton. Une attitude pragmatique est
de rigueur. Seuls les premiers termes des séries sont “extraits” des équations différentielles, par les techniques
empiriques newtoniennes. Grâce à ses talents de calculateur, par sa perception très fine des ordres