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64 Chapitre II
substituant z = y 13 dans (11), on aboutit à l’équation ż = x + 1 3 z ; de même, la substitution z = y1 2 ramène
l’équation (12) à la forme plus simple ż = 1 + 1 2 x12 .
1.1.4. Le problème de la constante d’intégration
Pour presque toutes les équations, Newton exhibe seulement une solution particulière. En général, il
s’agit d’une solution vérifiant y(0) = 0, sauf dans les cas où un changement de variables a permis d’éviter
la difficulté liée à la présence d’un point singulier. C’est ainsi que, dans l’équation (3), remplacer x par
1 − x et y par 1 – y, puis chercher une solution de la nouvelle équation vérifiant y(0) = 0, revient en fait à
chercher une solution de l’équation initiale telle que y(1) = 1.
Newton signale pourtant que le calcul peut être conduit de plusieurs façons (p. 38) : “J’ai dit que ces
Résolutions d’Équations pouvaient se faire d’une infinité de manière différentes. En effet, si vous prenez
non seulement le premier Terme de la suite supérieure ; mais telle autre Quantité donnée que vous voudrez
pour le premier Terme du Quotient & que vous opériez comme ci-dessus, vous en viendrez toujours à
bout.” Pour illustrer cette remarque, Newton reprend l’équation (1), note a le premier terme (dans le calcul
itératif, cela revient à prendre y 0
= a pour première approximation), et aboutit à la “solution générale”
y = x − x 2 + 1 3 x3 − 1 6 x 4 ,&c. + a( 1 + x + x 2 + 2 3 x3 + 5
12 x 4 ,&c.).
Dans le cas de l’équation (9), où il a cherché le premier terme sous la forme ex s par la méthode des
coefficients indéterminés, Newton obtient naturellement la solution générale y = ex 34 , car l’identification
conduit à s = 34 sans faire apparaître de condition sur e.
En dehors des deux équations précédentes, Newton ne s’intéresse guère à la solution générale. Il
semble parfaitement convaincu qu’il y a toujours une infinité de solutions dépendant d’une constante arbitraire,
mais, en quelque sorte, il laisse au lecteur le soin de choisir lui-même, pour les besoins éventuels
d’un problème particulier, la constante qui l’arrange.
Newton signale cependant, à propos de l’équation (7), que la faculté d’introduire une constante arbitraire
peut servir à trouver les solutions en termes finis d’une équation fluxionnelle, s’il en existe (p. 41) :
“On peut observer en passant que dans le nombre infini de manières dont on peut résoudre cette
Équation, il s’en trouve souvent qui déterminent en Termes finis la Valeur de la Quantité, & cela en se
terminant tout d’un coup comme dans l’Exemple précédent ; il n’est pas même difficile de trouver ces
façons en prenant quelque Symbole pour le premier Terme, & en lui donnant après la Solution quelque
Valeur convenable qui puisse rendre finie la suite entière.”
Un problème important est soulevé : la méthode des séries permet-elle de retrouver les solutions en
termes finis que l’on sait déterminer autrement dans certains cas ? Si l’on passe en revue les douze équations
du traité, on constate qu’il y en a au moins huit qui sont intégrables par quadratures : en effet, les
équations (1), (2), (7), (8), (9) et (10) sont linéaires, tandis que les équations (11) et (12) se ramènent à une
équation linéaire par un changement de variables (des quatre autres équations, on ne peut pas dire grand
chose, si ce n’est que l’équation (6) est sans doute le premier exemple connu d’équation de Riccati 8 ). Afin
de discuter valablement cette question de l’intégration en termes finis, rassemblons dans un tableau les
solutions générales – telles qu’on sait les trouver aujourd’hui – des huit équations intégrables exactement,
avec, en regard, les solutions particulières données par Newton.
8 Cela semble contredire une affirmation de Watson (in A treatise on the theory of Bessel functions, second edition, Cambridge
University Press, 1966, p. 1) : “The earliest appearance in Analysis of an equation of Riccati’s type occurs in a paper on
curves which was published by John Bernoulli in 1694.” Watson a cependant raison si l’on considère que la date officielle de
publication du traité de Newton est 1736.