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68 Chapitre II
Newton considère alors les deux rectangles BD × AB = x x− xx et AD × AB = x x, et cherche une
combinaison linéaire de ces deux quantités dont les premiers termes du développement en série coïncident
avec ceux de z. Il trouve :
2
4
5
BD × AB +
15 AD × AB = 2 3 x32 − 1 5 x52 −
20 1 x 72 −
40 1 x92 ,&c.,
ce qui lui permet d’affirmer que la combinaison des deux rectangles approche l’aire avec une erreur de
1
70 x 72 +
90 1 x92 ,&c. La méthode se généralise sans difficulté : en prenant davantage de rectangles, on peut
approcher l’aire d’aussi près que l’on veut.
À la lumière de cet exemple, il n’est pas absurde d’imaginer que, peut-être, Newton traduisait certains
problèmes de mécanique par des équations fluxionnelles, les résolvait par la méthode des séries, cherchait,
comme ci-dessus, une construction géométrique approchée pour les premiers termes de la série et, enfin,
présentait directement cette solution géométrique sans en mentionner l’origine. En particulier, Newton est
le premier à étudier le problème des trois corps (propositions LXVI à LXIX des Principia). Il le fait, bien
sûr, sous forme géométrique. Tisserand 15 a montré que les résultats de Newton coïncidaient avec ceux que
l’on peut tirer analytiquement des équations de Lagrange de la mécanique céleste (qui donnent les dérivées
des éléments elliptiques caractérisant l’orbite osculatrice : cf. chap. I). Tisserand affirme notamment
16 :
“Ce que nous dirons plus loin prouvera que Newton connaissait l’expression de dϖ dt à l’aide des
composantes S et T de la force perturbatrice et, très probablement aussi, celles de dθ dt et dϕ dt.
J’incline à penser qu’il connaissait toutes les formules, mais qu’au lieu de les publier il a préféré en tirer
un grand nombre de propositions géométriques qu’il a obtenues en ne considérant chaque fois que l’effet
de l’une des composantes.”
Tout cela reste hautement spéculatif. À moins de faire, comme Tisserand, de l’histoire-fiction, ce n’est
pas chez Newton que nous pourrons puiser nos premiers exemples d’intégration approchée des équations
différentielles de la mécanique céleste et de la balistique. Il faudra nous contenter des intégrations approchées
abstraites, hors contexte, que nous avons étudiées plus haut. Malgré tout, les trois caractéristiques
dégagées traduisent bien l’attitude habituelle, qu’on pourrait qualifier de pragmatiste, de Newton : le plus
souvent, les mathématiques ne sont pas étudiées pour elles-mêmes, mais en tant que préliminaire à des
recherches de philosophie naturelle. La primauté va indéniablement aux applications.
1.2. Recherches ultérieures de Newton
En 1704, Newton publie, en appendice à son Opticks, le Tractatus de Quadratura Curvarum. Il s’agit
d’une version très raccourcie d’un manuscrit qu’il avait élaboré pendant l’hiver 1691/2 et qu’il avait
communiqué alors à ses amis David Gregory, Fatio de Duillier et Edmond Halley. Dans ce manuscrit
inachevé 17 , Newton, s’aventurant bien au delà de la quadrature des courbes, avait visiblement en projet
une nouvelle exposition de la méthode générale des fluxions et des suites infinies. De fait, en ce qui concerne
l’intégration des équations fluxionnelles, les propositions XI et XII du manuscrit 18 élargissent considérablement
la théorie de 1671.
15 Traité de mécanique céleste, t. 3, chap. 3 : “Théorie de la lune de Newton”.
16 Ibid., p. 33.
17 “The revised and augmented treatise on quadrature”, in The mathematical papers of Isaac Newton, vol. VII, 1691-1695,
pp. 48-182.
18 Ibid., p. 70 et p. 92.